问题39二项式定理与其他知识的交汇问题一、考情分析二项式定理是高考高频考点,基本上每年必考,难度中等或中等以下,二项式定理作为一个工具,也常与其他知识交汇命题,如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理,还要考查其他知识,其解题的关键点是它们的交汇点,注意它们的联系．二、经验分享1.二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.2.求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．3.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．4.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．三、知识拓展1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.四、题型分析(一)二项式定理与函数的交汇【例1】设函数f(x)＝则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15【答案】A【解析】x＞0时,f(x)＝－＜0,故f[f(x)]＝f(－)＝(－＋)6,其展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－)6－r·()r＝(－1)6－r·C·()6－2r,由6－2r＝0,得r＝3,故常数项为(－1)3·C＝－20.【点评】解决本题的关键是当x>0时,将f[f(x)]表达式转化为二项式．【小试牛刀】设是展开式的中间项,若在区间上恒成立,则实数m的取值范围是（）A．（－∞,5）B．（－∞,5]C．（5,＋∞）D．[5,＋∞）【答案】D【解析】由题意可知,由得在区间上恒成立,所以,故选D．(二)二项式定理与数列的交汇【例2】将（）的展开式中的系数记为,则．【答案】【解析】（）的展开式的通项为,由题意可知,此时,,所以,所以．【小试牛刀】设二项式n(∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn,则＝()A．2n－1＋3B．2(2n－1＋1)C．2n＋1D．1【答案】C【解析】由题意知an＝2n成等比数列,令x＝1则bn＝也成等比数列,所以＝2n＋1,故选C.(三)二项式定理与不等式的交汇【例3】若变量满足约束条件,,则取最大值时,二项展开式中的常数项为.【答案】【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线经过点时,取最大值.当时,故由二项式展开式的通项公式,由题设可得,所以展开式中的常数项是,故应填答案.A(2,4)x=2x-y+2=0x+y-2=0y=-2x+n+2Oyx【小试牛刀】已知的展开式中与的项的系数之比为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在二项式的展开式中项的系数是，在二项式的展开式中项的系数是。由题设可得，即，所以（当且仅当取等号），应选答案C。(四)二项式定理与定积分的交汇【例4】【2017届福建福州外国语学校高三理适应性考试三】已知展开式的常数项是540,则由曲线和围成的封闭图形的面积为．【答案】【解析】二项式展开式的通项,令,所以有,求出,所以,联立,交点坐标为,所以由曲线和围成的封闭图形的面积.【小试牛刀】【山东省德州市2019届高三模拟】在的展开式中，项的系数等于264，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】（a）12的展开式的通项为．由，得r＝10．∴，解得a＝﹣2（舍）或a＝2．∴（2x）dx（lnx+x2）ln2+4﹣ln1﹣1＝ln2+3．故选：B．(五)二项式定理与导数的交汇【例5】,则（）A．1008B．2016C．4032D．0【答案】C【解析】设函数,求导得:,又,求导得,由令得:．故选C．【小试牛刀】求证【证明】由二项式定理可得两边取导数可得令得.(六)二项式定理与信息迁移题的交汇【例6】已知m是一个...
