高三数学 不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲VIP免费

高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1.实数大小的性质（1）abab0；（2）abab0；（3）abab0。2.比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。3.基本不等式定理1：如果abR，，那么abab222（当且仅当ab时取等号）。定理2：如果abcR，，，那么abcabc3333（当且仅当abc时取等号）。推论1：如果abR，，那么abab2（当且仅当ab时取“＝”号）。推论2：如果abcR，，，那么abcabc33（当且仅当abc时取“＝”号）。4.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。5.分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。（2）分析法和综合法要结合起来使用，也就是两头“凑”会使问题较易解决。（3）分析法的叙述较繁琐，往往是用分析法探寻思路，用综合法叙述证明过程。6.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法，叫做反证法。Www.chinaedu.com0011期版权所有不得复制1用反证法证明不等式必须把握几点：（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的。（2）反证法必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法。7.放缩法欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得BB1，BBBAi12…（或AAAAABi112，…）再利用传递性，达到欲证明的目的，这种方法叫做放缩法。放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，运用放缩法的关键是放缩要适度，放得过大或缩得过小，都不能达到目的。8.换元法换元法是指对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量代换原题中的部分式子，简化原有的结构，使其转化为便于研究的形式。换元法也是不等式证明中重要变形方法，常见换元法手段有：三角代换、平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换等。9.判别式法判别式法是指根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根解集，函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。（二）不等式的应用1.利用均值定理，求某些问题的最大值与最小值。2.利用不等式求函数的定义域、值域，讨论参数的取值范围及用于非不等式问题转化为不等式问题。3.利用不等式求最值，主要利用公式。aaanaaannn1212……，其中aini012()，，…（1）当aaaMn12…（常数）时，乘积aaan12…有最大值，其最大值为()Mnn，当且仅当aaan12…时，取最大值。（2）当aaaNn12…（常数）时，和aaan12…有最小值，其中最小值为nNn，当且仅当aaan12…时，取得最小值。利用公式求最值必须同时满足以下三个条件：（a）各项均为正数；（b）其和或积为常数；（c...