第四章 第三节 平面向量的数量积及应用举例VIP免费

第四节第三节平面向量的数量积及应用举例题组一平面向量的数量积及向量的模1.(2009·全国卷Ⅰ)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.－2C．－1D．1－解析：(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2＝0－|c|·|a＋b|·cos〈c，(a＋b)〉＋1≥0－|c||a＋b|＋1＝－2ab()＋1＝－222abab＋1＝－22ab＋1＝－＋1.答案：D2．(2009·广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．2B．2C．2D．6解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．23F＝21F＋22F＋2F1F2＝21F＋22F＋2|F1||F2|cos60°＝28.∴|F3|＝2.答案：A3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为两边的三角形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：设向量a与b的夹角为θ，θ∈(0，π)， 向量a与c的夹角为，∴向量a与c的夹角为-θ，以a，b为邻边的平行四边形面积为|a||b|sinθ，而|b·c|＝＝|b||c|sinθ，又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a||b|sinθ.答案：C1题组二两向量的夹角问题4.(2009·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°解析：设向量a与b的夹角为θ，(a＋b)2＝c2，a·b＝－，cosθ＝＝－，θ＝120°.答案：B5．在△ABC中，AB�·BC�＝3，△ABC的面积S∈[，]，则AB�与BC�夹角的取值范围是()A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]解析：设向量AB�与BC�的夹角为θ，由AB�·BC�＝|AB�||BC�|cosθ＝3，得|AB�||BC�|＝，∴S＝|AB�||BC�|sinθ＝××sinθ＝tanθ.由≤tanθ≤，得≤tanθ≤1，∴≤θ≤.答案：B6．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：由已知，21e＝|e1|2＝4，22e＝|e2|2＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2t21e＋(2t2＋7)e1·e2＋7t22e＝2t2＋15t＋7.由2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.由2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，得，∴.由于2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，故(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)，故t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．题组三两向量的平行与垂直7.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()A．－4B．4C．0D．9解析： a＝(1,2)，b＝(x，－2)，∴a－b＝(1－x,4)， a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.答案：D8．(2009·广东高考)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.2解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)由题意⇒∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．答案：(－1,1)或(－3,1)9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝＝2.题组四平面向量数量积的综合应用10.(2010·湘潭模拟)若向量an＝(cos2nθ，sinnθ)，bn＝(1,2sinnθ)，数列{xn}满足xn＝(an·bn)2－1，则{xn}是()A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列解析：an·bn＝cos2nθ＋2sin2nθ＝1－2sin2nθ＋2sin2nθ＝1，∴xn＝12－1＝0.故数列{xn}是等差数列．答案：A11．(2009·浙江高考)设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A．3B．4C．5D．6解析：当圆与三角形两边都相交时，有4个交...