第十一章(理)第二节离散型随机变量的期望与方差题组一离散型随机变量的期望问题1.已知随机变量ξ的分布列为ξ－2－10123Pmn其中m，n∈[0,1)，且Eξ＝，则m，n的值分别为()A.，B.，C.，D.，解析：由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝，由Eξ＝，得－m＝，∴m＝，n＝.答案：D2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于________．解析：ξ＝0时，P＝；ξ＝1时，P＝；ξ＝2时，P＝，∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝＝.答案：3．(2009·重庆高考改编)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B(3，)，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C()3＝，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C()2()＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C()()2＝，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C()3＝.故ξ的分布列为：ξ0123Pξ的数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.1法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程为事件Ai，属于产业建设工程为事件Bi，属于基础设施工程或产业建设工程为事件Ci，(i＝1,2,3)．由已知C1，C2，C3相互独立，且P(Ci)＝P(Ai＋Bi)＝P(Ai)＋P(Bi)＝＋＝.所以ξ～B(3，)即P(ξ＝k)＝C()k()3－k，k＝0,1,2,3.故ξ的分布列是：ξ0123Pξ的数学期望Eξ＝3×＝2.4．(2010·福建师大附中模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)．解：(1)ξ的所有可能取值有6,2,1，－2.P(ξ＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02.故ξ的分布列为：ξ621－2P0.630.250.10.02(2)由(1)知Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.即1件产品的平均利润为4.34万元．题组二离散型随机变量的方差问题5.设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又Eξ＝15，Dξ＝，则n与p的值为()A．60，B．60，C．50，D．50，解析：由ξ～B(n，p)，有Eξ＝np＝15，Dξ＝np(1－p)＝，∴p＝，n＝60.答案：B6．已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy若Eξ＝，则Dξ等于()A.B.C.D.解析：由分布列的性质得x＋y＝0.5，又Eξ＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝.2所以Dξ＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.答案：B7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．解：(1)ξ的分布列为：ξ01234P∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEξ＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴或即为所求．题组三离散型随机变量的期望与方差的实际应用8.“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元．解析：设公司每月对这辆车收入为ξ元，则其分布列为：ξ－1002500P0.20.8故Eξ＝(－100)×0.2＋2500×0.8＝1980元．答案：19809．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________.自然状况方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10解析：利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；370×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；98×0.25＋82×0.30－10×0.45...
