第八章第一节椭圆题组一椭圆的定义和标准方程1.(2009·陕西高考)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成＋＝1.若m＞n＞0，则＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．答案：C2．(2009·北京高考)椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．解析：依题知a＝3，b＝，c＝.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6， |PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2.在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°.答案：2120°题组二椭圆的几何性质3.设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点，且|F1F2|＝|F2P|，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：(－c)2＋(c)2＝(2c)2，∴＝1，∴＝1，∴e＝.答案：D4．(2009·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意结合图形得，lA1B2：＋＝1，即－bx＋ay＝ab，①1lB1F：＋＝1，即bx－cy＝bc，②由①②求得：y＝，代入②得：x＝，∴T(，)，则OT中点M(，)．又 M在椭圆上，∴＋＝1，即4c2＋a2＋2ac＋c2＝4a2－8ac＋4c2，c2＋10ac－3a2＝0，∴e2＋10e－3＝0.又 0＜e＜1，∴e＝2－5.答案：2－55．(2009·重庆高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：在△PF1F2中，由正弦定理知＝， ＝，∴＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.①又 P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜＜1＋e，得－1＜e＜1.答案：(－1,1)题组三直线与椭圆的位置关系6.过椭圆＋＝1内的一点P(2，－1)的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是()A．5x－3y－13＝0B．5x＋3y－13＝0C．5x－3y＋13＝0D．5x＋3y＋13＝0解析：设过点P的弦与椭圆交于A1(x1，y1)，A2(x2，y2)两点，则，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，∴(x1－x2)－(y1－y2)＝0，∴kA1A2＝＝.∴弦所在直线方程为y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0.答案：A7．(2010·石家庄模拟)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.D．－解析：设直线m的方程为y＝k1(x＋2)，代入椭圆方程，得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝－，2∴y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝，∴P(－，)，∴k2＝－，∴k1k2＝－.答案：D8．(2010·青岛摸拟)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.(1)求动点M(x1，x2)的轨迹C的方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)由已知得直线l1⊥l2，l1：y＝x，l2：y＝－x，∴点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，∴y1＝x1，y2＝－x2，由|PQ|＝2得(x＋y)＋(x＋y)＝4，即x＋4x＝4⇒＋x＝1，∴动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为＋y2＝1.(2)直线l的方程为y＝kx＋2，将其代入＋y2＝1，化简得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，设A(x3，y3)、B(x4，y4)，∴Δ＝(12k)2－36×(1＋3k2)＞0⇒k2>1，且x3＋x4＝－，x3x4＝， ∠AOB为锐角，∴OA―→·OB―→>0，即x3x4＋y3y4>0⇒x3x4＋(kx3＋2)(kx4＋2)>0，∴(1＋k2)x3x4＋2k(x3＋x4)＋4>0，将x3＋x4＝－，x3x4＝代入上式，化简得>0⇒k2<.由k2>1且k2<，得k(∈－，－1)(1∪，)．题组四椭圆的综合问题9.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，其右准线l与x轴交于点A，椭圆的上顶点为B，过它的右焦点F且垂直于长轴的直线交椭圆于点P，直线AB恰经过线段FP的中点D.(1)求椭圆的离心率；(2)设椭圆...
