第九章第五节空间距离题组一两点间的距离、点到直线的距离1.侧棱长为2的正三棱锥，若高为1，则该正三棱锥的底面周长是()A．6B．9C．12D．18解析：如图，P－ABC是正三棱锥，PA＝2，作PO⊥平面ABC.连结AO并延长交BC于D. PO＝1，∴AO＝＝.∴AD＝AO＝，又AD＝AB，∴AB＝AD＝3.∴底面周长是9.答案：B2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是()A.B．2C．3D．4解析：取BC的中点O，连结AO，PO，则BC⊥AO. PA⊥BC，PA∩AO＝A，∴BC⊥平面PAO.又PO⊂平面PAO，∴BC⊥PO，∴线段PO的长即为P到BC的距离，在Rt△ABO中，AO＝＝4，在Rt△PAO中，PO＝＝4.答案：D3．设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA＝2，PB＝4，则AB的长是________．解析：如图所示，PA与PB确定平面γ，与l交于点E，则BE⊥l，AE⊥l，∴∠BEA即为二面角的平面角，∴∠BEA＝60°，从而∠BPA＝120°，∴AB＝＝＝2.答案：21题组二点到平面的距离4.正三棱柱ABC－A1B1C1的高为2，AB1与平面ABC所成的角为45°，则点C到平面ABC1的距离是________．解析：由题意得∠B1AB＝45°，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，AC1＝BC1＝2，三角形ABC1的面积为，三角形ABC的面积为，设所求距离为h，由等体积法得××h＝××2，h＝，故填.答案：5．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A－BD－C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于________．解析：如图(1)，设AC、BD相交于点O. 四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，如图(2)，沿BD折叠后AO⊥BD，CO⊥BO，∴∠AOC＝120°，如图(3)，在△AOC中，延长CO到H，使AH⊥CH，则AH即为所求．由条件解得AH＝AO·sin60°＝1×＝.答案：6．(2010·开原模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，，E为B1D的中点．(1)求证：ME⊥B1C；(2)求点M到平面DB1C的距离．解：(1)证明：连结AC1，依题意可得E为AC1的中点，连结BC1，设BC1交B1C于点O，又 M为AB的中点，∴ME∥BC1.在正方形BCC1B1中，BC1⊥B1C，∴ME⊥B1C.(2) BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BC1⊥面DB1C.又 BC1∥ME，2∴ME⊥面DB1C，∴ME为所求距离．又 正方体的棱长为2，∴BC1＝2，ME＝BC1＝.因此，点M到平面DB1C的距离为.(也可由体积相等VM－DB1C＝VB1－MDC，求得距离为)．题组三直线与平面、平面与平面的距离7.(2009·北京高考)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B．1C.D.解析：依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以B1B即为A1C1到底面ABCD的距离．B1B＝.答案：D8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是棱A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；(2)设AB＝1，求平面AMN与平面EFDB间的距离．解：(1)证明：连结MF. M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD，∴MF綊AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF. DF⊂平面EFDB，AM⊄平面EFDB，∴AM∥平面EFDB，同理，AN∥平面EFDB.又AM、AN⊂平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.(2)如图甲所示，分别取棱BB1、CC1的中点Q、P，连结A1Q、A1P、PQ， PQ∥BC，BC⊥平面ABB1A1，∴PQ⊥平面ABB1A1. M为A1B1的中点，3∴AM⊥A1Q.∴A1P⊥AM，同理A1P⊥AN.又AM、AN⊂平面AMN，AM∩AN＝A，∴A1P⊥平面AMN.由(1)，知平面AMN∥平面EFDB，∴A1P⊥平面EFDB.设A1P与这两个平行平面分别交于点O1，O2，则O1O2的长为两平行平面之间的距离，在平行四边形AA2A3A4中，如图乙．由AA1＝1，A2A3＝，得AA2＝，由等面积法可得O1O2＝.题组四距离的综合应用9.(2009·重庆高考)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是()A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为(0,1)B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为(，)C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为(，)D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为(，＋∞)解析：设正四棱柱底面边长为a，高为b，如图，B1到平面A1BCD1的距...
