第九章第八节空间向量及其运算(B)题组一空间向量的线性运算1.如图所示,已知四面体ABCD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点,则(AB�+BC�+CD�)化简的结果为()A.BF�B.EH�C.HG�D.FG�解析:(AB�+BC�+CD�)=(AC�+CD�)=AD�=·2HG�=HG�.答案:C2.如图,在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是AC与BD的交点,若AB�=a,11AD�=b,11AA�=c,则下列向量中与1BM�相等的向量是()A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c解析:由题意,根据向量运算的几何运算法则,1BM�=1BB�+BM�=c+BD�=c+(AD�-AB�)=-a+b+c.答案:A题组二空间中的共线、共面问题3.已知e1,e2,e3为不共面向量,若a=e1+e2+e3,b=e1-e2+e3,c=e1+e2-e3,d=e1+2e2+3e3,且d=xa+yb+zc,则x,y,z分别是________.解析:由d=xa+yb+zc可得e1+2e2+3e3=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x+y-z)e3,所以解之得答案:,-,-14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1交平面ACB1于点E.求证:(1)BD1⊥平面ACB1;(2)BE=ED1.解:(1) 1BD�=BC�+CD�+1DD�,AC�=AB�+BC�,∴1BD�·AC�=(BC�+CD�+1DD�)·(AB�+BC�)=BC�·BC�+CD�·AB�=BC�·BC�-AB�·AB�=|BC�|2-|AB�|2=1-1=0,1∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1,又AC∩AB1=A,于是BD1⊥平面ACB1.(2)如图,设底面正方形的对角线AC、BD交于点M,设向量AB�=a,AD�=b,1AA�=c,则BM�=(AD�-AB�)=(b-a),则1BM�=BM�-1BB�=(b-a)-c,1BD�=b+c-a.设BE�=λ1BD�=λ(b+c-a),则EM�=BM�-BE�=(b-a)-λ(b+c-a)=(-+λ)a+(-λ)b-λc,由B1,E,M共线可知,存在实数t,使得EM�=t1BM�即(-+λ)a+(-λ)b-λc=t(b-a)-tc,故解之得λ=t=.故BE=BD1,所以BE=ED1.题组三空间向量数量积及应用5.如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,则a2等于()A.2BA�·BC�B.2AD�·BD�C.2FG�·CA�D.2EF�·CB�解析:〈AD�,BD�〉=,∴2AD�·BD�=2a2×cos=a2.答案:B6.二面角α-l-β为60°,A、B是棱l上的两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=α,BD=2a,则CD的长为()A.2aB.aC.aD.a解析: AC⊥l,BD⊥l,∴〈AC�,BD�〉=60°,且AC�·BA�=0,AB�·BD�=0,∴CD�=CA�+AB�+BD�,2∴|CD�|=2()CAABBD�==2a.答案:A7.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b·(2a+b)的值为________.解析:a·b=|a||b|cos〈a,b〉=4×4×cos120°=-8,∴b·(2a+b)=2a·b+b2=2×(-8)+42=0.答案:08.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解:设AB�=a,AD�=b,1AA�=c,则两两夹角为60°,且模均为1.(1)1AC�=AC�+1CC�=AB�+AD�+1AA�=a+b+c.∴|1AC�|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2b·c+2a·c=3+6×1×1×=6,∴|1AC�|=,即AC1的长为.(2)1BD�=BD�+1DD�=AD�-AB�+1AA�=b-a+c.∴1BD�·AC�=(b-a+c)·(a+b)=a·b-a2+a·c+b2-a·b+b·c=1.|1BD�|==,|AC―→|==,∴cos〈1BD�,AC�〉=11BDACBDAC��==.∴BD1与AC夹角的余弦值为.题组四空间向量及其运算的综合9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析: 正方体棱长为a,A1M=AN=,∴MB�=1AB�,CN�=CA�,3∴MN�=MB�+BC�+CN�=1AB�+BC�+CA�=(11AB�+1BB�)+BC�+(CD�+DA�)=1BB�+11BC�.又 CD�是平面B1BCC1的法向量,且MN�·CD�=(1BB�+11BC�)·CD�=0,∴MN�⊥CD�,∴MN∥平面B1BCC1.答案:B10.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,3AD=DC=3,AB=2,E是DC上的点,且满足DE=1,连结AE,将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D...