第九章 第八节 空间向量及其运算（B）VIP免费

第九章第八节空间向量及其运算（B）题组一空间向量的线性运算1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(AB�＋BC�＋CD�)化简的结果为()A．BF�B．EH�C．HG�D．FG�解析：(AB�＋BC�＋CD�)＝(AC�＋CD�)＝AD�＝·2HG�＝HG�.答案：C2．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若AB�＝a，11AD�＝b，11AA�＝c，则下列向量中与1BM�相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，1BM�＝1BB�＋BM�＝c＋BD�＝c＋(AD�－AB�)＝－a＋b＋c.答案：A题组二空间中的共线、共面问题3.已知e1，e2，e3为不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别是________．解析：由d＝xa＋yb＋zc可得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3，所以解之得答案：，－，－14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E.求证：(1)BD1⊥平面ACB1；(2)BE＝ED1.解：(1) 1BD�＝BC�＋CD�＋1DD�，AC�＝AB�＋BC�，∴1BD�·AC�＝(BC�＋CD�＋1DD�)·(AB�＋BC�)＝BC�·BC�＋CD�·AB�＝BC�·BC�－AB�·AB�＝|BC�|2－|AB�|2＝1－1＝0，1∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1，又AC∩AB1＝A，于是BD1⊥平面ACB1.(2)如图，设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，设向量AB�＝a，AD�＝b，1AA�＝c，则BM�＝(AD�－AB�)＝(b－a)，则1BM�＝BM�－1BB�＝(b－a)－c，1BD�＝b＋c－a.设BE�＝λ1BD�＝λ(b＋c－a)，则EM�＝BM�－BE�＝(b－a)－λ(b＋c－a)＝(－＋λ)a＋(－λ)b－λc，由B1，E，M共线可知，存在实数t，使得EM�＝t1BM�即(－＋λ)a＋(－λ)b－λc＝t(b－a)－tc，故解之得λ＝t＝.故BE＝BD1，所以BE＝ED1.题组三空间向量数量积及应用5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于()A．2BA�·BC�B．2AD�·BD�C．2FG�·CA�D．2EF�·CB�解析：〈AD�，BD�〉＝，∴2AD�·BD�＝2a2×cos＝a2.答案：B6．二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝α，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a解析： AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC�,BD�〉＝60°，且AC�·BA�＝0，AB�·BD�＝0，∴CD�＝CA�＋AB�＋BD�，2∴|CD�|＝2()CAABBD�＝＝2a.答案：A7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×4×cos120°＝－8，∴b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×(－8)＋42＝0.答案：08．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解：设AB�＝a，AD�＝b，1AA�＝c，则两两夹角为60°，且模均为1.(1)1AC�＝AC�＋1CC�＝AB�＋AD�＋1AA�＝a＋b＋c.∴|1AC�|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝3＋6×1×1×＝6，∴|1AC�|＝，即AC1的长为.(2)1BD�＝BD�＋1DD�＝AD�－AB�＋1AA�＝b－a＋c.∴1BD�·AC�＝(b－a＋c)·(a＋b)＝a·b－a2＋a·c＋b2－a·b＋b·c＝1.|1BD�|＝＝，|AC―→|＝＝，∴cos〈1BD�，AC�〉＝11BDACBDAC��＝＝.∴BD1与AC夹角的余弦值为.题组四空间向量及其运算的综合9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析： 正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴MB�＝1AB�，CN�＝CA�，3∴MN�＝MB�＋BC�＋CN�＝1AB�＋BC�＋CA�＝(11AB�＋1BB�)＋BC�＋(CD�＋DA�)＝1BB�＋11BC�.又 CD�是平面B1BCC1的法向量，且MN�·CD�＝(1BB�＋11BC�)·CD�＝0，∴MN�⊥CD�，∴MN∥平面B1BCC1.答案：B10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D...