第九章第六节棱柱、棱锥的概念和性质题组一棱柱、棱锥的概念与性质1.有下列命题：①底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；②所有侧棱长都相等的棱锥一定是正棱锥；③一个棱锥可以有两条侧棱垂直于底面；④一个棱锥可以有两个侧面垂直于底面．其中，正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①不满足顶点在底面的射影为底面的中心．②底面不一定是正多边形．③若两条侧棱垂直于底面，则这两条侧棱平行与交于一点矛盾．④画图易知存在四棱锥满足有两个侧面垂直于底面．答案：B2．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．必然都是非直角三角形B．至多只能有一个是直角三角形C．至多只能有两个是直角三角形D．可能都是直角三角形解析：例如三棱锥P－ABC中，若PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四个侧面均为直角三角形．答案：D3．下面是关于三棱锥的四个命题：①三棱锥的四个面可以都是直角三角形；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直。其中真命题的编号是________。(写出所有真命题的编号)解析：①正确，如图①在三棱锥A－BCD中，若AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，则有AC⊥CD，所以四个面全是直角三角形；②不正确，反例：如图②可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△ABC为等边三角形，△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定三棱锥V－ABC为正三棱锥；1③不正确，侧面的面积相等只不过是斜高相等，并不能表示侧面为全等的三角形，故不能判定；④正确，由线面垂直和面面垂直的判定定理可知，三棱锥的任一侧棱垂直于另外两条侧棱决定的侧面，再由面面垂直的判定定理知，三个侧面两两垂直。答案：①④4．下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．解析：对于命题①，斜棱柱中的两个相对的侧面可以同时垂直于底面，故①错误；对于命题②，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则它们的交线一定垂直于底面，又这一交线是两对角面的平行四边形的中位线，所以四条侧棱都垂直于底面，棱柱为直四棱柱，即②正确；对于命题③，如图所示的斜四棱柱，它的所有棱长都相等，且∠AA1B1＝∠AA1D1＝60°，这时它的四个侧面两两全等，故③错误．对于命题④，由四棱柱的四条对角线相等得到两对角面是矩形，从而四棱柱是直四棱柱，故④正确．答案：②④题组二棱柱、棱锥中的线面关系与角的计算5.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°解析：异面直线AD与CB1所成的角即为BC与CB1所成的角，显然所成角为45°.答案：D6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.解析：如图所示，由正方体性质可知B1C1⊥MN，又2MB1⊥MN，∴MN⊥平面MB1C1. C1M⊂平面MB1C1，∴C1M⊥MN，即∠C1MN＝90°答案：90°题组三棱柱、棱锥的综合应用7.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠ACB＝，∠AA1C＝，侧棱BB1与底面所成的角为，AA1＝4，BC＝4.则斜三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝________.解析：在Rt△AA1C中，AC＝AA1·tan∠AA1C＝4×＝4.作B1H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B1BH＝，在Rt△B1BH中，B1H＝BB1·sin∠B1BH＝AA1·sin＝4×＝6.∴V＝S△ABC·B1H＝×4×4×6＝48.答案：488．(2009·湖北高考)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0＜λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．解：(1)证明：连结BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD. SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得AC⊥BE.(2) SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD.又底面ABCD...
