第九章第七节多面体、球题组一正多面体的概念及性质1.给出下列三个命题：①正四棱柱一定是直平行六面体；②四面体ABCD中，若点A在面BCD上的射影是△BCD的垂心，则点B在面ACD上的射影是△ACD的垂心；③经过球面上不同两点的球的小圆可能不存在．其中假命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：可以证明三个命题都是真命题．答案：A2．(2009·全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：如图所示．规律：展开图中间隔一个为相对的面．答案：B题组二球面距离3.地球北纬45°圈上有A、B两点，点A在东经130°处，点B在西经140°处，若地球半径为R，则A、B两地在纬度圈上的劣弧长与A、B两地的球面距离之比为________．解析：A、B两地的经度差为90°，又∠OAO′＝45°，所以北纬45°圈的半径r＝R，所以A、B两地纬度圈的劣弧长为S1＝×2π×R＝πR，在Rt△AO′B中AB＝R，所以∠AOB＝60°.则A、B两地的球面距离为S2＝×2πR＝.所以＝＝.答案：14．(2009·陕西高考)如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O＝，A，B是圆O1上两点．若∠AO1B＝，则A、B两点间的球面距离为________．解析：由球半径R＝2，OO1＝，求得小圆半径r＝， ∠AO1B＝，∴AB弦长为2，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝，∴A、B的球面距离为×2＝.答案：题组三球的表面积和体积5.64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲>V乙且S甲S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙解析： V甲＝64·π·(·)3＝πa3，S甲＝64·4π·(·)2＝4πa2，V乙＝π(a·)3＝πa3，S乙＝4π(a·)2＝πa2，∴V甲＝V乙，S甲>S乙．答案：C6．如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2、3cm2，那么它的外接球体积是________．解析：依题意，设这个三棱锥的侧棱分别为a、b、c，则有ab＝12cm2，bc＝8cm2，ac＝6cm2，解得a＝3cm，b＝4cm，c＝2cm.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的外接球，所以外接球的半径为cm，体积为πcm3.答案：cm37．(2009·全国卷Ⅰ)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．解析：由题意得圆M的半径r＝，又球心到圆M的距离为，由勾股定理得R2＝r2＋()2，R＝2，则球的表面积为16π.答案：16π8．在球面上有四点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积和表面积．解：法一：由PA⊥PB可知P、A、B确定一个平面．设它与球O的交线为⊙O1.由于PA⊥PB，故AB是⊙O1的直径，且AB＝＝a. PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB，又OO1⊥平面PAB，2∴OO1∥PC.过OO1、PC作平面α交球面为大圆O.设⊙O与⊙O1的另一交点为Q，则直线PQ是平面α与平面PAB的交线．点O1∈PQ，连结CQ，在⊙O中， PC⊥PQ，∴∠CPQ为直角，∴CQ为⊙O的直径．设⊙O的半径为R，即球O的半径为R.在Rt△CPQ中，CQ＝＝＝a，∴2R＝a即R＝a，∴V球＝(a)3＝πa3，S球＝4π(a)2＝3πa2.法二： PA、PB、PC两两垂直，补成球的内接正方体，则球的直径为正方体的对角线，∴2R＝a，∴R＝a，从而S球＝4πR2＝4π·(a)2＝3πa2；∴V球＝πR3＝·(a)3＝πa3.题组四多面体与球的综合问题9.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36πcm2,64πcm2，求这两个平行平面的距离．解：设两个截面圆的半径分别为r1、r2，球心O到截面的距离分别为d1、d2，球的半径为R.由πr＝36π，得r＝36，由πr＝64π，得r＝64.如图(甲)所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，即d1－d2＝－＝－＝8－6＝2(cm)．如图(乙)所示，当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即d1＋d2＝＋＝＋＝14(cm)．10．已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面...
