第三章第五节两角和与差的三角函数题组一三角函数的化简、求值1.的值是()A.B.C.D.解析：原式＝＝＝＝.答案：C2.的值为()A．－1B．1C．－D．－解析：＝＝tan(60°－105°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.答案：A3．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：∵＝＝3，故tanα＝2.又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2.∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝.答案：题组二给值求值问题4.sin(－x)＝，则sin2x的值为()A.B.C.D.解析：∵sin(－x)＝，∴cosx－sinx＝(cosx－sinx)＝.∴cosx－sinx＝.∴(cosx－sinx)2＝1－sin2x＝，∴sin2x＝.答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋)＝，则cos(α＋)的值为()A.B.C．－D.解析：∵α为钝角，且sin(α＋)＝，∴cos(α＋)＝－，∴cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]＝cos(α＋)cos－sin(α＋)sin1＝(－)·－·＝－.答案：C6．已知cos＝，x∈.(1)求sinx的值；(2)求sin的值．解：(1)法一：因为x∈，所以x－∈，sin＝＝.sinx＝sin[＋]＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin＝×＋×＝.法二：由题设得cosx＋sinx＝，即cosx＋sinx＝.又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝或sinx＝－.因为x∈，所以sinx＝.(2)因为x∈，故cosx＝－＝－＝－.sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－.所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.题组三给值求角问题7.在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，∴sin(A＋B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.答案：A8．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.解析：∵tanβ＝－，tan(α－β)＝，∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1.∵tanα＝>0，tanβ＝－<0，2∴α∈(0，)，β∈(，π)，∴α－β∈(－π，0)．又∵tan(α－β)＝>0，∴α－β∈(－π，－)，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π.答案：－π9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝.题组四公式的综合应用10.已知向量a＝(sin(α＋),1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于()A．－B．－C.D.解析：a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，∴sin(α＋)＝.∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.答案：B11．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值为______．解析：∵cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－(sinα＋cosα)＝－.答案：－12．(文)已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝OM�·ON�(O为坐标原点)．(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．解：(1)依题意得：OM�＝(1＋cos2x,1)，ON�＝(1，sin2x＋a)，∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.∴f(x)的最小正周期为π.3(2)若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，∴－≤sin(2x＋)≤1，此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，ymin＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－)．(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；(2)若a＝b＋c，求tanα的值．解：(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，①a·c＝(cosα，sinα)·(，－)＝cosα－sinα＝，②又∵0＜α＜，0＜β＜，∴－＜α－β＜.由①得α－β＝±，由②得α＝.由α、β为锐角，∴β＝.从而2β－α＝π.(2)由a＝b＋c可得③2＋④2得cosα－sinα＝，∴2sinαcosα＝.又∵2sinαcosα＝＝＝，∴3tan2α－8tanα＋3＝0.又∵α为锐角，∴tanα＞0，∴tanα＝＝＝.4
