甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练压轴大题突破练(一)理(推荐时间：60分钟)1．已知函数f(x)＝xln(1＋x)－a(x＋1)，其中a为实常数．(1)当x∈[1，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，求a的取值范围；(2)求函数g(x)＝f′(x)－的单调区间．解(1)由题意知：f′(x)＝ln(1＋x)＋－a>0，则a0，即h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴a1，x∈(－1，a－2)时，g′(x)<0，g(x)在(－1，a－2)上单调递减，x∈(a－2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增．②当a≤1时，g′(x)>0，g(x)在(－1，＋∞)上单调递增，综上所述，当a>1时，g(x)的增区间为(a－2，＋∞)，减区间为(－1，a－2)，当a≤1时，g(x)的增区间为(－1，＋∞)．2．已知抛物线x2＝4y，过点A(0,1)任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点．(1)求OM·ON的值；(2)过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．解(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1，故OM·ON＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3.(2)因为x2＝4y，所以y′＝x，l1的方程为y－＝x1(x－x1)，整理得y＝x1x－，同理得l2的方程为y＝x2x－；联立方程1x2×①－x1×②得(x2－x1)y＝，y＝＝－1，故l1与l2的交点的纵坐标等于－1，即l1与l2的交点在直线y＝－1上．3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；(3)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．(1)解f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x.(2)证明∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当－1
