核心素养测评十二导数及导数的运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列求导运算正确的是()A.′=1+B.(log2x)′=C.(5x)′=5xlog5xD.(x2cosx)′=-2xsinx【解析】选B.A.′=1-,故错误;B.符合对数函数的求导公式,故正确;C.(5x)′=5xln5,故错误;D.(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx,故错误.2.若函数f(x)=,则f′(0)等于()A.1B.0C.-1D.-2【解析】选A.函数的导数f′(x)=,则f′(0)==1.3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.C.-1D.-8【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),所以f′(x)=x2-2x=-1,又0≤x≤5,故当x=1时,f′(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.4.(2020·广元模拟)已知函数f(x)=x2+cosx,则其导函数f′(x)的图象大致是()【解析】选A.因为f′(x)=x-sinx,这是一个奇函数,图象关于原点对称,故排除B,D两个选项.f′=×-<0,故排除C.5.(2020·新乡模拟)若曲线y=在点处的切线的斜率为,则n=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为导函数为y′=,所以y′|x=1==,所以n=5.6.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.2B.C.-D.-2【解析】选D.y′==-,=-=-,又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,且直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2.7.(多选)已知曲线f=ex-2在点处的切线过点,则函数f的单调递增区间和a的值分别为()A.B.C.1D.-1【解析】选AC.因为f(x)=(ax-1)ex-2,f(2)=(2a-1)e0=2a-1,求导得f′(x)=aex-2+(ax-1)ex-2·1=(ax+a-1)ex-2,k切=f′(2)=(3a-1)e0=3a-1,所以k切==4-2a=3a-1,解得a=1,f(x)=(x-1)ex-2,所以f′(x)=1·ex-2+(x-1)ex-2=xex-2,因为ex-2>0,则当x>0时,f′(x)>0.则f(x)的单调递增区间是(0,+∞).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019·南昌模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(lnx)=x+lnx,则f′(1)=________.【解析】因为f(lnx)=x+lnx,所以f(x)=x+ex,所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.答案:1+e9.已知函数y=f(x)的图象在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f′(2)=________.世纪金榜导学号【解析】由题意可知f(2)=3×2+1=7,f′(2)=3,所以f(2)+f′(2)=10.答案:10【变式备选】如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,则g′(4)=________.【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=,由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.由g(x)=,得g′(x)=,故g′(4)==-.答案:-10.(2018·全国卷Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________________.世纪金榜导学号【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x(15分钟35分)1.(5分)已知函数f(x)=x2+2xf′,则f与f的大小关系是()A.f>fB.f=fC.ff.2.(5分)(2020·太原模拟)已知点P是直线y=2x-4上的动点,点Q是曲线y=x+ex上的动点,则|PQ|的最小值为()A.5B.C.e+3D.【解析】选B.设曲线y=x+ex上切点为M(x0,x0+),y=x+ex⇒y′=1+ex,k=1+=2⇒x0=0⇒M(0,1),M(0,1)到直线y=2x-4的距离为,即|PQ|的最小值为.3.(5分)(2020·重庆模拟)已知函数f=x3-2x,则曲线y=f在点(1,f(1))处的切线的倾斜角是________,切线方程为________.【解析】根据题意,函数f(x)=x3-2x,设切线的斜率为k,其倾斜角是θ,则f′(x)=x2-2,则有k=f′(1)=-1,则tanθ=-1,又由0≤θ<π,得θ=,f(1)=×13-2×1=-,所以在点(1,f(1))处的切线方程为y+=-1×(x-1),即3x+3y+2=0答案:3x+3y+2=04.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点.世纪金榜导学号(1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.【解析】(1)因为y′=2x,所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);即y=-2x-1;过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);即y=4x-4.(2)设切点为,kPQ==1,因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,所以2x0=1,所以x0=,所以切点为,所以切线方程为y-=x-,即y=x-.5.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).世纪金榜导学号(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为∪.
