核心素养测评十三导数与导数的运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列求导运算正确的是()A.′=1+B.(log2x)′=C.(5x)′=5xlog5xD.(x2cosx)′=-2xsinx【解析】选B.A.′=1-,故错误;B.符合对数函数的求导公式,故正确;C.(5x)′=5xln5,故错误;D.(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx,故错误.2.若函数f(x)=,则f′(0)等于()A.1B.0C.-1D.-2【解析】选A.函数的导数f′(x)=,则f′(0)==1.3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.C.-1D.-8【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),所以f′(x)=x2-2x=-1,又0≤x≤5,故当x=1时,f′(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.4.(2020·广元模拟)已知函数f(x)=x2+cosx,则其导函数f′(x)的图像大致是()【解析】选A.因为f′(x)=x-sinx,这是一个奇函数,图像关于原点对称,故排除B,D两个选项.f′=×-<0,故排除C.5.(2020·新乡模拟)若曲线y=在点处的切线的斜率为,则n=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为导函数为y′=,所以y′|x=1==,所以n=5.6.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.2B.C.-D.-2【解析】选D.y′==-,=-=-,又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,且直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2.7.已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx相切,则实数k的值为世纪金榜导学号()A.ln2B.1C.1-ln2D.1+ln2【解析】选D.设切点为(x0,x0lnx0),对y=xlnx求导数,得y′=lnx+1,所以切线的斜率k=lnx0+1,故切线方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0),整理得y=(lnx0+1)x-x0,与直线y=kx-2比较,得k=lnx0+1,x0=2,故k=1+ln2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019·南昌模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(lnx)=x+lnx,则f′(1)=.【解析】因为f(lnx)=x+lnx,所以f(x)=x+ex,所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.答案:1+e9.已知函数y=f(x)的图像在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f′(2)=.【解析】由题意可知f(2)=3×2+1=7,f′(2)=3,所以f(2)+f′(2)=10.答案:10【变式备选】如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,则g′(4)=.【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=,由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.由g(x)=,得g′(x)=,故g′(4)==-.答案:-10.(2018·全国卷II)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.世纪金榜导学号【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-2(15分钟35分)1.(5分)已知函数f(x)=x2+2xf′,则f与f的大小关系是()A.f>fB.f=fC.ff.2.(5分)(2020·阜阳模拟)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为()A.∪B.C.∪D.【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,故切线的斜率k≥-,所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.3.(5分)(2020·亳州模拟)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是()A.2B.2C.2D.【解析】选A.设M(x0,ln(2x0-1))为曲线上的任意一点,则曲线在点M处的切线与直线2x-y+8=0平行时,点M到直线的距离即为曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离.因为y′=,所以=2,解得x0=1,所以M(1,0).记点M到直线2x-y+8=0的距离为d,则d==2.4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点.世纪金榜导学号(1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.【解析】(1)因为y′=2x,所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);即y=-2x-1;过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);即y=4x-4.(2)设切点为,kPQ==1,因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,所以2x0=1,所以x0=,所以切点为,所以切线方程为y-=x-,即y=x-.5.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).世纪金榜导学号(1)若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为∪.
