第十四章推理与证明、新定义一．基础题组1.【2012年.浙江卷.理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝__________．【答案】2.【2007年.浙江卷.理4】要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B3.【2015高考浙江，理6】设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，，（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立【答案】A.【解析】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于的区域，故命题②也正确，故选A.1【考点定位】集合的性质二．能力题组1.【2014年.浙江卷.理8】记，，设为平面向量，则（）A.B.C.D.【答案】：Ｄ【解析】：2.【2010年.浙江卷.理14】设，将的最小值记为，则其中=__________________.【答案】【解析】：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题23.【2013年.浙江卷.理10】在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则()．A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【答案】：A【解析】设P1=fα(P)，则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P1)，∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足，4.【2009年.浙江卷.理10】对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且3，有．下列结论中正确的是()A．若，，则B．若，，且，则C．若，，则D．若，，且，则【答案】：C5.【2009年.浙江卷.理15】观察下列等式：，，，，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于，．答案：【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，三．拔高题组1.【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列，，，．记．．求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）；4（Ⅲ）。【答案】详见解析.52.【2005年.浙江卷.理20】设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋anx＋bn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离．(Ⅰ)求x2及C1的方程．(Ⅱ)证明{}是等差数列．【答案】(Ⅰ)C1方程为y=x2-7x+14；(Ⅱ)详见解析.即=0,6又∵,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0,(*)下面用数学归纳法证明xn=2n-1.①当n=1时,x1=1,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0,(*)又ak=-2-4k-,∴.即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n∈N+成立,∴{xn}是等差数列.7
