专题10立体几何一．基础题组1.【2012全国新课标，文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18【答案】B2.【2010全国新课标，文7】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【答案】：B3.【2007全国2，文7】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于()(A)36(B)34(C)22(D)32【答案】：A4.【2006全国2，文7】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则()（A）4（B）6（C）8（D）9【答案】B【解析】连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中，所以，又因为AB=12,所以5.【2005全国3，文4】设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（）A．B．C．D．【答案】C6.【2005全国2，文2】正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（）(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形【答案】D7.【2007全国2，文15】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.【答案】：【解析】这个正四棱柱，体对角线为2cm，底面为边长1cm的正方形，则根据勾股定理，解得，则表面积.8.【2014全国2，文18】（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.ADBCPE【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）OADBCPEH9.【2013课标全国Ⅱ，文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C－A1DE的体积．(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝＝1.10.【2012全国新课标，文19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．11.【2010全国新课标，文18】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P—ABCD的体积．12.【2005全国2，文20】(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)设，求与平面所成的角的大小．(II)解：不妨设BC=1，则PD=AD=1，AB=，PA=，AC=∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1且AF⊥PB PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直∴PB⊥平面AEF连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH∥平面AEF∠GAH为AC与平面AEF所成的角由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=由△EGH∽△EBF可知GH=BF=∴∠GAH=∴AC与平面AEF所成的角为。方法二以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。∴异面直线AC、PB所成的角为∴=0，PB⊥AF又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线∴PB⊥平面AEF∴AC与平面AEF所成的角为－即AC与平面AEF所成的角为。二．能力题组1.【2014全国2，文6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.B.C.D.【答案】C2.【2013课标全国Ⅱ，文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．【答案】：A【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：则它在平面z...
