专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a4+a10=28,则S9=()A.45B.90C.120D.752.已知数列{an}是等差数列,满足a1+2a2=S5,下列结论错误的是()A.S9=0B.S5最小C.S3=S6D.a5=03.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=()A.15B.17C.34D.3984.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(x∈R),且f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()A.305B.315C.325D.3355.已知数列{an},构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列{an}的通项公式为()A.an=,n∈N*B.an=,n∈N*C.an=D.an=1,n∈N*6.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),则an=.7.(2018全国Ⅰ,理14)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.8.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2017,=6,则S2017=.9.已知在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1,且n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.如果对于任意的n∈N*,都有Tn>m,求实数m的取值范围.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=0,对任意n∈N*,都有nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足an+log2n=log2bn,求数列{bn}的前n项和Tn.11.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.二、思维提升训练12.给出数列,…,,…,,…,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()A.4900B.4901C.5000D.500113.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.14.已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(n∈N*).(1)求p的值及an;(2)若bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求使Tn>成立的最小正整数n的值.15.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.16.设数列A:a1,a2,…,aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak
a1,则G(A)≠;⌀(3)证明:若数列A满足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1.专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.B解析因为{an}是等差数列,设公差为d,所以a4+a10=a1+3d+a1+9d=2a1+12d=4+12d=28,解得d=2.所以S9=9a1+d=18+36×2=90.故选B.2.B解析由题设可得3a1+2d=5a1+10d2⇒a1+8d=0,即a5=0,所以D中结论正确.由等差数列的性质可得a1+a9=2a5=0,则S9==9a5=0,所以A中结论正确.S3-S6=3a1+3d-6a1-15d=-3(a1+4d)=-3a5=0,所以C中结论正确.B中结论是错误的.故选B.3.C解析 Sn=n2-2n-1,∴a1=S1=12-2-1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1]=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.∴an=∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34.4.D解析 f(1)=,f(2)=,f(3)=,……f(n)=+f(n-1),∴{f(n)}是以为首项,为公差的等差数列.∴S20=20=335.5.A解析因为数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为的等比数列,所以an-an-1=,n≥2.所以当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1++…+=又当n=1时,an==1,则an=,n∈N*.6解析因为an-an+1=nanan+1,所以=n,+…+=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1+=+1=(n≥2).所以an=(n≥2).又a1=1也满足上式,所以an=7.-63解析 Sn=2an+1,①∴Sn-1=2an-1+1(n≥2).②①-②,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2).又S1=2a1+1,∴a1=-1.∴{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6==-63.8.-2017解析 Sn是等差数列{an}的前n项和,是等差数列,设其公差为d.=6,∴6d=6,d=1. a1=-2017,=-2017.=-2017+(n-1)×1=-2018+n.∴S2017=(-2018+2017)×2017=-2017.故答案为-2017.9.解(1) an+1=an+2n+1,∴an+1-an=2n+1,∴an-an-1=2n-1,∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+(2n-1)==n2.(2)由(1)知,bn=,∴Tn=+…+=1-,∴数列{Tn}是递增数列,∴最小值为1-,只需要>m,∴m的取值范围是10.解(1)(方法一) nan+1=Sn+n(n+1),∴当n≥2时,(n-1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减,得nan+1-(n-1)an=Sn-Sn...
