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备战高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题32 均值不等式常见应用-人教版高三全册数学试题VIP免费

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专题32均值不等式常见应用【热点聚焦与扩展】高考命题中对基本不等式的考查比较灵活,可以说无处不在,重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题,命题形式以选择、填空为主,有时以应用题的形式出现.有时与三角函数、数列、解析几何等相结合,考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型.1、基本不等式的几个变形:(1):多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况(2):多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况(3),本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围2、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等”(1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法(2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量.(3)等:若能利用均值不等式求得最值,则要保证等号成立,要注意以下两点:①若求最值的过程中多次使用均值不等式,则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突)②若涉及的变量有初始范围要求,则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值,并验证是否符合初始范围.3、常见求最值的题目类型(1)构造乘积与和为定值的情况(2)已知(为常数),求的最值,此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子(或分母)位置上,所求表达式变量的位置恰好相反,位于分母(或分子)上,则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘,从而得到常数项与互为倒数的两项,然后利用均值不等式求解.(3)运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式,通过解不等式求解:例如:已知,求的最小值解:所以即,可解得,即注:此类问题还可以通过消元求解:,在代入到所求表达式求出最值即可,但要注意的范围由承担,所以4、高中阶段涉及的几个平均数:设(1)调和平均数:(2)几何平均数:(3)代数平均数:(4)平方平均数:5、均值不等式:,等号成立的条件均为:特别的,当时,即基本不等式【经典例题】例1.【2018届辽宁省辽南协作校高三一模】若且,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】 且∴,即.∴,当且仅当时取等号.∴的取值范围为故选A.例2.【2018届云南省曲靖市第一中学4月监测卷(七)】若直线平分圆,则的最小值为()A.B.2C.D.【答案】C则(当且仅当,即时取等号).故选C.例3.【2018届北京师范大学附中二模】已知,,并且,,成等差数列,则的最小值为()A.16B.9C.5D.4【答案】A【解析】 ,,成等差数列,∴.∴,当且仅当且,即时等号成立.选A.例4.【2017天津,理12】若,,则的最小值为___________.【答案】【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式,(1),当且仅当时取等号;(2),,当且仅当时取等号;首先要注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.例5.已知非零向量,,满足,,则的最大值为_______.【答案】【解析】分析:详解:因为,所以的最大值为.例6.【2018届广东省模拟(二)】已知,,展开式的常数项为,则的最小值为__________.【答案】【解析】分析:由题意在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于零,求得的值,可得展开式的常数项,再根据展开式的常数项为,确定出,再利用基本不等式求得的最小值.详解:展开式的通项公式为,令,得,从而求的,整理得,而,故答案是.例7.【2018届百校联盟高三TOP20四月联考】已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为__________.【答案】,即所以,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为故答案为:例8.【2018届北京市北京19中十月月考】已知正数满足则的最小值为_________.【答案】9【点睛】本题考查基本不等式的应用.利用基本不等式求带有限制条件的不等式的最值问题时,要合理配凑,如本题中将等价变形为,再利用基本不等式的条件(一正、二定、三相等)进行求解.例9.【2018届四川省成都市石室中学二诊】已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面A...

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