备战高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题33 多角度破解多变元范围问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题33多角度破解多变元范围问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考题目中，有些多变元（量）确定范围问题，一般地可利用已知条件进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值），且消元的方法较多.另外，某些题目也可以利用数形结合法求解.本专题重点说明从消元、数形结合等角度解答此类问题.（一）消元法：1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：①要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）②若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）（2）换元：常见的换元有两种：①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如等，例如在中，可变形为，设，则将问题转化为求的值域问题注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：推广：平方差：联想到正割（）与正切（）的平方差为1，则有，推广：注：若有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围3、消元后一元表达式的范围求法：（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值.（3）三角函数：①形如的形式：则可利用公式转化为的形式解得值域（或最值）②形如：则可通过换元将其转化为传统函数进行求解③形如：，可联想到此式为点和定点连线的斜率，其中为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围（二）放缩消元法1、放缩法求最值的理论基础：不等式的传递性：若，则2、常见的放缩消元手段：（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果.3、放缩消元过程中要注意的地方：（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”.放缩的方向应与不等号的方向一致（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值.放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致.若将关于的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到.同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去（三）数形结合法1、数形结合的适用范围：（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考...