专题14利用导数证明一元不等式【热点聚焦与扩展】利用函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题，考查学生构造函数、选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式.此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置.1、证明方法的理论基础（1）若要证(为常数）恒成立，则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值（2）已知的公共定义域为，若，则证明：对任意的，有由不等式的传递性可得：，即2、证明一元不等式主要的方法有两个：第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法.3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则.4、若在证明中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度.5、合理的利用换元简化所分析的解析式.6、判断解析式符号的方法：（1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号（2）将解析式视为一个函数，利用其零点（可猜出）与单调性（利用导数）可判断其符号（3）将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判断出解析式符号【经典例题】例1【2018年贵州省普高等学校招生适应性考试】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，求证：（为自然对数的底数）.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：(1)，对a分类讨论，得到函数的单调区间；(2)等价于，令，求出其最小值，并证明其大于零即可.综上所述，当时，只有增区间为.当时，的增区间为，减区间为.（2）等价于.令，而在单调递增，且，.令，即，，则时，时，故在单调递减，在单调递增，所以.即.【名师点睛】（1）此题的解法为证明一元不等式的基本方法，即将含的项移至不等号的一侧，构造函数解决。（2）一些常见不等关系可记下来以备使用：①②③例2【2018届贵州省凯里市第一中学高三下学期《黄金卷》第三套】已知函数.（Ⅰ）试讨论函数的单调性；（Ⅱ）对，且，证明：.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）的定义域为，且，对m分类讨论，明确函数的单调性；（2）要证：只需证：即证：.设，研究函数的单调性即可.②当时，对，有，函数在单调递减；对，有，函数在单调递增．（II）对且，要证：只需证：即证：.设，则当时，有，故函数在单调递减．又，且，所以，即．成立故原不等式成立．例3【2018届河南省郑州市高三第二次质量预测】已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，.【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程。（2）由（1）当时，，即，+,只需证,x所以.过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方.下证：当时，设，则，在上单调递减，在上单调递增，又，∴，所以，存在，使得，所以，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，∴，当且仅当时取等号，故.又，即，当时，等号成立.【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明x.所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明.例4【2018届湖南省衡阳市高三二模】已知函数.(1)当时，证明：；(2)当时，函数单调递增，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.不符合题意，舍去；③当存在部分不合题意，综合三种情况可得结果.试题解析：证明：(1)当时，即证：,,令，则,当时，有.当时，单调递增...
