备战高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题18 恒成立问题——最值分析法-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题18恒成立问题——最值分析法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③最值法：讨论最值或恒成立；④讨论参数.最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法.1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则（2）若，均有（其中为常数），则3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：①观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）②缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【经典例题】例1．【2018届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为定义在上的偶函数在上递减，所以在上单调递增，若不等式对于上恒成立，则对于上恒成立，即对于上恒成立，（2）当，即时，在上恒成立，单调递减，因为最大值，最小值，所以，综合可得，无解，（3）当，即时，在上，恒成立，为减函数，在上，恒成立，单调递增，故函数最小值为，若，即，因为，则最大值为，此时，由，求得，综上可得；若，即，因为，则最大值为，点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得在上恒成立，令，求的函数的最大值和最小值，从而得到实数的取值范围.例2.若关于的不等式，对任意恒成立，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3， 3∉[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论： f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20， 关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故选：B．例3．已知函数，曲线在点处的切线方程为.其中为自然对数的底数（1）求的值（2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）1,1；（2）.【解析】解：（1）（2）思路：恒成立不等式为：，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以考虑利用最值法，先变形不等式，由于的符号不确定（以为界），从而需进行分类讨论.当时，不等式变形为：，设，可观察到，则若要时，，则需，进而解出，再证明时，即可.将的范围缩至时再证明时，即可.解：由（1）可得恒成立的不等式为：当时，设，可得在单调递增，即不等式恒成立当时，同理，在单调递增即时不等式在恒成立综上所述，.例4．设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.解：令，只需令均成立，（上一步若直接求单调增区间，则需先对的符号进行分类讨论.但通过代入（，便于计算），解得了要满足...