备战高考数学一轮复习（热点难点）专题61 以不变应万变-定值问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题61以不变应万变-定值问题考纲要求:1.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.基础知识回顾:1.直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．应用举例:类型一定值的证明问题【例1】【2018届四川省成都市新津中学高三11月月考】已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.(2)设，直线的方程是，，整理，设，则是方程的两个根，（定值），为定值.【例2】【2017届福建省泉州市5月模拟】已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明：为定值，并求出这个定值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）定值为（Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为：得所以，故为定值.②当直线的斜率存在，则设直线的方程为：，得，所以，即，又点在抛物线上，所以，于是综合①②，为定值，且定值为【例3】【2017届云南省昆明市5月模拟】已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若，，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.（Ⅱ）设点的坐标分别为.由，所以，所以因为点在曲线上，所以，化简得①，同理，由可得：，代入曲线的方程得②，由①②得是方程的两个实数根(△>0)，所以.点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.类型二定值的探究性问题【例4】【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期期中】设，是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量，，且，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.（2）①直线斜率不存在时，即， ∴，即又 点在椭圆上∴，即∴，∴，故的面积为定值1②当直线斜率存在时，设的方程为，联立得：∴，，∴所以三角形的面积为定值1.【例5】【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】如图，椭圆经过点，且离心率为．（）求椭圆的方程．（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）．（）斜率之和为定值．∴椭圆的方程为：．（）由题设知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，，得．由已知，设，，，则，，从而直线，的斜率之和：．故直线、斜率之和为定值．【例6】【2017届重庆市第八中学高三12月周考】抛物线的顶点是双曲线：的中心，的焦点与双曲线的右焦点相同．（1）求抛物线的方程；（2）直线过点，交抛物线于，两点，探究是否存在平行于轴的直线，被以为...