专题59求知路上能走多远-探索性问题考纲要求:1.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的简单应用.(5)理解数形结合的思想.2.曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.基础知识回顾:探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索性问题；（2）结论探索性问题；（3）探索存在性问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．从近几年高考命题看，考查频率较高的是探索存在型问题.应用举例:类型一结论探索性问题【例1】【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.点在椭圆上，直线过坐标原点，若，.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）.（2）由（1）知，直线的方程为：即：，所以∴. ，∴的方程为，令，可得，∴（几何法）当不在轴时，不妨令在第一象限，直线的方程为，令∴，， 与垂直，∴，令，∴∴当在轴时，，【例2】【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，或．或时，四边形为平行四边形．【例3】【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)G在以AB为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点，则由所以从而所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外．点评：这类试题给出命题的条件，要求考生探索命题的结论，并加以证明．其基本思路是，应用综合法从已知条件推出可知，再推出可知，逐步推出正确的结论或通过观察，想象、比较、归纳，作出猜想，然后证明猜想．这是一个不断地由未知转化为已知的探索性思维的过程．类型二存在性问题【例4】【2017届广东深圳市4月模拟】已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若经过定点的直线与曲线交于两点，是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)存在直线或，使得.（2）设，由题意可知，当直线与轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线的方程为，联立和并消去，可得，显然，由韦达定理可知，①【例5】【2018届湖南省邵阳市洞口县第一中学高三上第一次月考】在中，顶点所对三边分别是已知,且成等差数列.(I)求顶点的轨迹方程；(II)设顶点A的轨迹与直线相交于不同的两点，如果存在过点的直线,使得点关于对称，求实数的取值范围【答案】（1）（2）当时，的取值范围为；当时，的取值范围为()．【解析】试题分析：(I)由成等差数列，可得；结合椭圆的定义可求得的轨迹方程为；(II)将与椭圆方程联立，判别式大于得.（II）由消去整理得,∴，整理得：…①.令，则.设的中点，则.i)当时，由题知，．ii)当时，直线方程为，由在直线l上，得，得…②把②式代入①中可得，解得.又由②得，解得，∴．验证：当在上时，得代入②得，无解．即不会过椭圆左顶点.同理可验证不过右顶点．∴的取值范围为)．综上，当时，m的取值范围为；当时，m的取值范围为．【例6】【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连...
