专题57直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题考纲要求:1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想．基础知识回顾:1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.由消元．(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝＝|y1－y2|(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．应用举例:类型一椭圆的焦点三角形【例1】【2018届福建省福州市闽侯第六中学高三上期中】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证：.【答案】(1);(2)详见解析.∴∴∴与互余，∴【例2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．点评：1.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；②S＝b2tan＝c，当＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.2.椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．类型二椭圆的焦点弦【例3】【江苏省南京市2017届高三上学情调研】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设PF1＝λF1Q．（1）若点P的坐标为(1，)，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．【答案】（1）＋＝1；（2）[，5]．xOyPF1F2Q（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．设Q(x1，y1)．因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．……………………7分方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．……………………7分因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)．由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)．设Q(x1，y1)，则x1＋c＝－，即－c－x1＝．……………………11分因为PF1＝λF1Q，所以λ＝＝＝＝＝＝－3．……………………14分因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．所以λ的取值范围为[，5]．……………………16分【例4】设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．点评：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断．7．椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与...
