专题53圆锥曲线中必考的双曲线问题考纲要求:1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想．基础知识回顾:一、双曲线的标准方程和几何性质或或坐标轴坐标轴原点原点二、双曲线的定义:平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}．(1)当ac时，P点不存在．应用举例:类型一、利用定义解决焦点三角形问题【例1】过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是()A．28B．14－8C．14＋8D．8解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8.又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8.∴△PF2Q的周长为14＋8.【例2】【2018届广西河池市高级中学高三上第三次月考】双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率是（）A.B.C.2D.【答案】A【例3】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（）A.26B.C.52D.【答案】D点评：在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k＝＝＝＝.类型二、求渐近线方程1、利用离心率求渐近线方程【例4】已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：由题意，知椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率为e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即＝，整理可得a＝b.又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay＝0，所以bx±by＝0，即x±y＝0.2、利用几何性质求渐近线方程【例5】【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的两个焦点分别为，，点是双曲线上一点，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C3、利用双曲线方程求渐近线方程【例6】【2018届南宁市高三毕业班摸底联考】双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得，所以渐近线方程为，选D.点评：求曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.类型三、求离心率的值或范围．1、利用离心率定义求离心率【例7】【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】2、利用渐近线方程求离心率【例8】【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，则双曲线的渐近线为则当时，设 若坐标原点恰为△ABF2的垂心，∴OA⊥BF2，即，即，则，即， ∴，则则离心率，故选：C．点评：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．类型四、求双曲线的方程1.利用双曲线的定义求其方程【例9】已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．解析：设F(x，y)为轨迹上的任意一点， A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2，∴|FA|－|FB|＝2<14.由双曲线的定义知，F...
