专题42借用基本不等式解决最值、范围问题考纲要求:1．了解基本不等式的证明过程；2．理解基本不等式及变形应用．3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．基础知识回顾:1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．3、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4、利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)应用举例:类型一、利用基本不等式证明简单不等式【例1】【2017江西吉安一中高三月考】已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.【答案】见解析所以－1＝＝>，①－1＝＝>，②－1＝＝>，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得>8.【例2】【2017湖南衡阳八中月考】设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.【答案】见解析点评：利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．类型二、利用基本不等式求最值【例3】若直线（）过圆的圆心，则的最小值为（）A.16B.20C.12D.8【答案】A【解析】直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴＝(4a＋b)＝4＋＋4≥16，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时等号成立，∴的最小值为16.【例4】【河北省衡水第一中学2018届高三上学期分科综合考试】若都是正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】设都是正数，且，则，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.【例5】设，，且，则的最小值为__________．【答案】18【例6】【2017江西省南昌高三一模】设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________．【答案】3【解析】 a－2b＋3c＝0，∴b＝，∴＝≥＝3，当且仅当a＝3c时取“＝”．类型三、基本不等式与其他内容相结合【例7】【重庆市第一中学2018届高三11月月考】若，，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】===当且仅当时取等号；故选C【例8】【安徽省蒙城县“五校”2018届高三上学期联考】已知正项等比数列（）满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【例9】【福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中考试】若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，由题意知直线经过圆的圆心(−1,−1)，因而.时取等号.的最小值为3.本题选择A选项.【例10】【2017东北四市高三联考】已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为()A．2B．4C．8D．9【答案】D类型四、利用基本不等式解决实际问题【例11】【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】某科研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：.此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为（单位：百元）.（1）求的函数关系式；当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的...
