专题49合理建系--妙解三类空间角问题考纲要求:1．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．基础知识回顾:1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图甲所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝|n·e||n||e|.3．二面角的求法(1)如图乙中①，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图乙中②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．应用举例:类型一、线线角问题1、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系例1．如图所示，在正方体中，已知分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【解析】：建立如图所示的空间坐标系，则，故，所以，，则，应选答案A。另解：如图，平移至，连，在中，运用余弦定理可得，应选答案A。2、利用面面垂直建立空间直角坐标系例2．在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为()A．1B．77C．12D．32【解析】：取线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1⊥平面ABB1A1，∴可以以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图2，则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，，0)，∴＝(2,0，－)，＝(－1，，－)，因为·＝(2,0，－)·(－1，，－)＝0，所以⊥，即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.故选A.小结：注意向量的夹角与异面直线所成角的区别，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．类型二、线面角问题1、利用线面垂直建立空间直角坐标系例1、【浙江省嘉兴市第一中学2018届高三9月基础测试】如图，四棱锥,底面为菱形，平面，，为的中点，.（I）求证：直线平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系..设平面的法向量，.所以直线与平面所成角的正弦值为2、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系例2、四面体ABCD及其三视图如图5所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．(2)如图6，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， EF∥AD，FG∥BC，∴n·＝0，n·＝0，得z＝0，－2x＋2y＝0，取n＝(1,1,0)，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝22＝105.小结：利用平面的法向量求线面角时注意事项(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．类型三、面面角问题1、利用面面垂直建立空间直角坐标系例1．【河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试】如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）设为上的一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2），平面所以平面平面.（II）由（I）可知为与底面所成角.所以，所以【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.2、利用正方体建立空间直角坐标系例2、如图9，在棱长为2的...
