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备战高考数学一轮复习(热点难点)专题45 空间几何体的表面积和体积-人教版高三全册数学试题VIP免费

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专题45空间几何体的表面积和体积考纲要求:1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.2.了解球的表面积与体积的计算公式.基础知识回顾:一、多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.二、旋转体的表(侧)面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl三、空间几何体的体积1.柱体:V柱体=Sh;V圆柱=πr2h.2.锥体:V锥体=13Sh;V圆锥=13πr2h.3.台体:V台体=13(S++S′)h;V圆台=13πh(r2+rr′+r′2).四、球的体积与表面积1.球的表面积公式:S=4πR2;的体积公式V=43πR32.与球有关的切、接问题中常见的组合:(1)正四面体与球:如图1,设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,连接CD,SE为正四面体的高,在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O.此时,CO=OS=R,OE=r,SE=23a,CE=33a,则有R+r=23a,R2-r2=|CE|2=a23,解得R=64a,r=612a.(2)正方体与球:①正方体的内切球:截面图为正方形EFHG的内切圆,如图2所示.设正方体的棱长为a,则|OJ|=r=a2(r为内切球半径).②与正方体各棱相切的球:截面图为正方形EFHG的外接圆,则|GO|=R=22a.③正方体的外接球:截面图为正方形ACC1A1的外接圆,则|A1O|=R′=32a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.如图3,设AA1=a,则R=32a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则可以补形为一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2=a2+b2+c24=l24(l为长方体的体对角线长).应用举例:类型一、几何体的表面积【例1】【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.C.D.【答案】C点睛:(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.例2.如图,直角梯形中,,,,若将直角梯形绕边旋转一周,则所得几何体的表面积为__________.解析:几何体为一个圆锥与圆柱的组合体,表面积为.类型二、几何体的体积【例3】【河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试】在如图所示的多面体中,为直角梯形,,,四边形为等腰梯形,,已知,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求多面体的体积.【答案】(1)见解析(2)【例4】.如图,多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,平面FBC⊥平面ABCD.△FBC中BC边上的高FH=2,EF=.求该多面体的体积.【答案】【解析】试题分析:由已知多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF与面AC的距离为2,将几何体补成三棱柱,我们易求出三棱柱的体积,然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可.将几何体补成三棱柱,如图所示:多面体中,平面FBC⊥平面ABCD,且AB⊥BC,故AB⊥平面FBC. EF∥AB,∴EF⊥平面FBC,即GF⊥平面FBC. △FBC中BC边上的高FH=2,平面ABCD是边长为3的正方形,EF=,∴三棱锥E-ADG的体积为,∴原几何体的体积为.类型三、与球相关的切、接问题【例5】【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中,,,,,则该三棱锥外接球的表面积是()A.B.C.D.【答案】C故O点是球心,且∴故选:C点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识...

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