备战高考数学一轮复习（热点难点）专题45 空间几何体的表面积和体积-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题45空间几何体的表面积和体积考纲要求:1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．2.了解球的表面积与体积的计算公式．基础知识回顾:一、多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．二、旋转体的表(侧)面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl三、空间几何体的体积1．柱体:V柱体＝Sh；V圆柱＝πr2h.2．锥体:V锥体＝13Sh；V圆锥＝13πr2h.3．台体:V台体＝13(S＋＋S′)h；V圆台＝13πh(r2＋rr′＋r′2)．四、球的体积与表面积1．球的表面积公式：S＝4πR2；的体积公式V＝43πR32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图1，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝23a，CE＝33a，则有R＋r＝23a，R2－r2＝|CE|2＝a23，解得R＝64a，r＝612a.(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝a2(r为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝22a.③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝32a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图3，设AA1＝a，则R＝32a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝a2＋b2＋c24＝l24(l为长方体的体对角线长)．应用举例:类型一、几何体的表面积【例1】【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．例2.如图，直角梯形中，，，，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．解析：几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，表面积为.类型二、几何体的体积【例3】【河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试】在如图所示的多面体中，为直角梯形，，，四边形为等腰梯形，，已知，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求多面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【例4】．如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.△FBC中BC边上的高FH=2，EF=.求该多面体的体积.【答案】【解析】试题分析：由已知多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，将几何体补成三棱柱,我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可.将几何体补成三棱柱,如图所示：多面体中，平面FBC⊥平面ABCD，且AB⊥BC，故AB⊥平面FBC. EF∥AB，∴EF⊥平面FBC，即GF⊥平面FBC. △FBC中BC边上的高FH=2，平面ABCD是边长为3的正方形，EF=，∴三棱锥E-ADG的体积为，∴原几何体的体积为.类型三、与球相关的切、接问题【例5】【山东省潍坊市2017-2018学年上学期高三期中考试】在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积是（）A.B.C.D.【答案】C故O点是球心，且∴故选：C点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识...