专题33求数列通项公式必备的方法和技巧考纲要求:1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)2.了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法);3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等).基础知识回顾:1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项).2.数列与函数的关系(1)从函数观点看,数列可以看成是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(2)数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法.3.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式(提示:不是所有的数列都有通项公式,若有,也不一定唯一).4.数列的通项an与前n项和Sn的关系:数列的前n项和通常用Sn表示,记作Sn=a1+a2+…+an,则通项an=(提示:若当n≥2时求出的an也适合n=1时的情形,则用一个式子表示an,否则分段表示).5.递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.应用举例:类型一:由数列的前几项求数列的通项公式【例1】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是an等于()A.B.cosC.cosπD.cosπ【答案】D【解析】令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确.【例2】根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…;(2)-,,-,,…;(3)a,b,a,b,a,b,…(其中a,b为实数);(4)9,99,999,9999,….【答案】见解析类型二、已知递推关系式求通项公式(1)形如an+1=anf(n),求an【例3】【2017浙江省温州市高三月考试题】在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式是__________.【答案】an=.【解析】 an=an-1(n≥2),∴an-1=an-2,…,a2=a1.以上(n-1)个式子相乘得an=a1···…·==.当n=1时,a1=1,上式也成立.∴an=.(2)形如an+1=an+f(n),求an【例4】【2017河北省定州中学高三月考】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+,则数列{an}的通项公式是__________.【答案】an=【例5】【2017河南郑州一中高三月考】若数列{an}满足:a1=1,an+1=an+2n,则数列{an}的通项公式是_______.【答案】an=2n-1.【解析】由题意知an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.(3)形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1),求an【例6】数列满足,且,则数列的通项公式=_____________.【答案】.【解析】试题分析:由题意可得:,所以是以为首项,公比为3的等比数列.所以,即.故应填.考点:1、数列递推式求通项公式.(4)形如an+1=(A,B,C为常数),求an【例7】【2017江苏泰兴中学高三月考】已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则数列{an}的通项公式是_________.【答案】an=(n∈N*).类型三、已知数列的前n项和Sn或Sn与an的关系求通项公式【例8】【四川省泸州市2017届高三三诊】已知数列的前项和(),则数列的通项公式__________.【答案】【解析】因,故,以上两式两边相减可得,即,也即,所以,即,应填答案。点睛:解答本题的思路是先运用数列递推式建立关系,再巧妙变形得到,然后运用等差数列的定义求出通项公式,进而求得使得问题获解。【例9】【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】数列的前项和为,若,,则数列的通项公式__________.【答案】【例10】【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试】若数列的前项和为,且,则的通项公式是__________.【答案】【解析】由题意可得,数列{}是以1为首项,公比为-2的等比数列,故类型四、已知数列类型求其通项公式【例11】【安徽省亳州市二中2017届高三下学期教学质量检测】已知等差数列的公差为正数,,,为常数,则__________.【答案】方法、规律归纳:1....