备战高考数学一轮复习（热点难点）专题17 导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题17导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题考纲要求:1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、利用导数解决不等式恒成立问题【例1】【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.（Ⅱ）因为.令，即，解得，.（1）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，减区间为（2）当，即时，由，得或；由，得.所以函数的增区间为，减区间为.（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，无减区间.类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题【例2】已知函数f(x)＝ln(x＋1)－－x，a∈R.(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－(a∈Z)成立，求a的最小值．【解析】(1)f′(x)＝，x>－1.当a≥时，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．当00，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当a≥时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)；当0n，求证：．【解析】（1）导函数为，由，解得并检验，再求得，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程。（2）由题意可在上恒成立，所以在上恒成立，分离参数得，所以，。（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形，为，即，所以只需证，设．求导可证h(x)>0.试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意．从而切线斜率，切点为（1,0），∴切线方程为（2），因为f（x）在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立．当时，由，得．设，．所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．所以，所以．所以a的取值范围是．（3）要证，只需证，即证，只需证，设．由（2）知在上是单调增函数，又．所以，即成立，所以类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点【例4】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．【例5】【2017贵州七校联考】函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其...