圆锥曲线3624.已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?(Ⅲ)过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：.(Ⅱ)由（Ⅰ）得椭圆:①当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点;②当时,则,直线的方程为此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去).若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去),综上,当或或时,直线过椭圆的顶点.（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为,根据题意可设，则则直线的方程为…①过点且与垂直的直线方程为…②①②并整理得：,又在椭圆上，所以所以,即①、②两直线的交点在椭圆上,所以．法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为根据题意可设，则，，25.已知椭圆的离心率为，且过点过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在轴上是否存在点M，使是与无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）∵椭圆离心率为，.又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.所以.∴椭圆方程为，即.……………………………………4分是与k无关的常数，设常数为t，则.……………………10分整理得对任意的k恒成立，解得，即在x轴上存在点M（），使是与K无关的常数.……………………………12分26.如图，在平面直角坐标系中，设点（），直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点,过、分别作直线、，使，.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）在直线上任取一点做曲线的两条切线，设切点为、，求证：直线恒过一定点；(Ⅲ)对（Ⅱ）求证：当直线的斜率存在时，直线的斜率的倒数成等差数列.xyFＯ．ＰＱＲ对于方程①，代入点得，，又∴整理得：同理对方程②有即为方程的两根.∴③-----------------------8分设直线的斜率为，所以直线的方程为，展开得：，代入③得：∴直线恒过定点.-------------------------------------10分
