圆锥曲线3520.已知椭圆的焦点坐标为（-1,0），（1,0），过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，（1）求椭圆的方程；（2）过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分由PQ|=3，可得=3，……………………………………………2分解得a=2，b=，…………………………………………………３分故椭圆方程为=1……………………………………………4分则AB（）==，……………9分令t=,则t≥1,则,………………………10分令f（t）=3t+，则f′(t)=3-，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在1,+∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)=4,≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3,=4R，∴=，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………12分21.已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u,v）.若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得．设点A、B的坐标分别为，则因为及所以当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.1F2FxyAOB综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件.当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分设点A、B的坐标为，则因为，所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.22.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；（Ⅲ）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）,B，△ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=|FB|=,D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，所以，解得=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为.------------------8分由已知条件知且故存在满足题意的点P且的取值范围是．------------------12分23.已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线同时满足条件：(ⅰ)过的焦点；(ⅱ)与交于不同两点、，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦、分别另交椭圆于、两点．当直线的斜率变化时，直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．（Ⅱ）容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为,所以存在直线满足条件，且的方程为：或…………………9分（Ⅲ）设直线的斜率为，则：，：则化简得：．∵此方程有一根为，∴同理可得………………………………………………11分则所以的直线方程为令，则.所以直线过轴上的一定点………………………………………………14分
