圆锥曲线3414.F1、F2为双曲线C：（＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足MAB=30°，则该双曲线的离心率为.【答案】【解析】由，解得，即交点M的坐标，连结MB，则,即为直角三角形，由MAB=30°得，即，所以，所以，所以双曲线的离心率.15.椭圆的离心率为，若直线与其一个交点的横坐标为，则的值为A.B.C.D.16.已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，且记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于A.B.C.D.17.已知F1（－1,0），F2（1,0）为平面内的两个定点，该平面内的动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，记点P的轨迹为曲线E。（I）求曲线E的方程；（II）设点O为坐标原点，A，B，C是曲线E上的不同三点，且＝0，（i）证明：直线AB与OC的斜率之积为定值；（ii）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积。（ⅱ）若轴时，,由，得点，所以点不在椭圆上，不合题意．因此直线的斜率存在．由（ⅰ）可知，当直线过点时,有，点的坐标．代入得，，即，所以．（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．故、及轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为，且底边上的高，所求等腰三角形的面积．（2）当时，又由（ⅰ）知，，从而，同理可求直线、与轴所围成的三角形的面积为．综合（1）（2），直线、与轴所围成的三角形的面积为．18.已知椭圆C的中心为原点O，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，（I）求椭圆C的方程；（II）已知点P为椭圆的上顶点，且存在实数成立，求实数t的值和直线l的方程。（II）当直线斜率不存在时，易求A（1，），B（1，－），P（0,1），所以＝（1，－1），＝（1，－－1），＝（1，－1），由，得t＝2，直线l的方程为x＝1当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），A＝（x1，y1），B＝（x2，y2），所以，＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1），＝（1，－1），19.设椭圆C：的一个顶点与抛物线：的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F2的直线与椭圆C交于M、N两点．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求的值．解析：（I）椭圆的顶点为(0，)，即b＝，e＝＝＝，所以a＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.（II）由题可知，直线l与椭圆必相交.①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.②设存在直线l为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，x1＋x2＝，x1·x2＝，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝＋k2(－＋1)＝＝－1所以k＝±，故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1).
