圆锥曲线1211.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：设椭圆方程为则直线AB的方程为化简得.令则共线，得又∴∴即，∴∴故离心率为QPNMFO12.、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。13．设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当时，求直线的方程.解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴焦点为………………………………………………………1分（1）直线的斜率不存在时，显然有………………………………3分（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b即直线：y=kx+b由已知得：……………5分……………7分即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分14、设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0∴上述条件等价于∵∴上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。15.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以………………………3分证法二：设点P的坐标为记则由解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），则因此①由得②将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是由④得上式代入③得③④于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.………………………11分当时，记，由知，所以…………14分
