课下能力提升(二十)[学业水平达标练]题组1平面向量数量积的坐标运算1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选Da＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，可得3k－(k＋2)＝0，解得k＝1，则a＝(1,1)，从而a·b＝1×2＋1×2＝4.2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A.B．3C．－D．－3解析：选D向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝()A.B.C.D．(1,0)解析：选B法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.由，解得即b＝.故选B.法二：利用排除法．D中，y＝0，∴D不符合题意；C中，向量不是单位向量，∴C不符合题意；A中，向量使得a·b＝2，∴A不符合题意．故选B.题组2向量模的问题4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4B．2C．8D．8解析：选D易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.5．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝()A．－1B．1C．2D．－2解析：选Bcos＝＝＝－，|n|＝1.故选B.6．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．解析： a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝＝.∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值.答案：－题组3向量的夹角与垂直问题7．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b解析：选C由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.B.C.D.解析：选D设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，由(c＋a)∥b，得－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，故m＝－，n＝－.9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明： A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)．又·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.(2) ⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，∴，解得，∴点C的坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝>0，∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)， |c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2) (a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.[能力提升综合练]1．已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是()A.B．－C．4D．－4解析：选C ＝(－1,2)，＝(3，m)，∴＝－＝(4，m－2)，又 ⊥，∴·＝－1×4＋2(m－2)＝－8＋2m＝0，解得m＝4.2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析：选C设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角θ的余弦值等于()A.B．－C.D．－解析：选C设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cosθ＝＝.4．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，]B．[1，]C．[1,2]D．[，2]解析：选D|a＋b|＝＝. θ∈，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．5.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．解析：依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，则＝(cosθ，sinθ)，＝(1,1)．因为⊥，所以·＝0，即cosθ＋sinθ＝0，解...
