课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1向量数量积的运算1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．4解析：选C①②③正确，④⑤错误，|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|≥a·b，(a·b)2＝(|a|·|b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为()A.B．3C．2D.解析：选A |a|cos〈a，b〉＝，|b|＝3，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于()A.B.C．－D．－解析：选A AM＝1，且＝2，∴||＝.如图，·(＋)＝·2＝·＝()2＝2＝.4.如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求：(1)·；(2)·；(3)·.解：(1)·＝||2＝9；(2)·＝－||2＝－16；(3)·＝||||cos(180°－60°)＝4×3×＝－6.题组2向量的模5．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1B.C．4＋D．2解析：选B根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．2B．4C．6D．12解析：选C (a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.7．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2， a⊥b，∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.故cos120°＝＝＝＝－，得＝，即＝.答案：题组3两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，故θ＝120°.9．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为()A.B.C.D.解析：选C由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos60°－5×22＝0，解得m＝.10．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cosθ－2×16＝－14－3×3×4cosθ≥4，∴cosθ≤－，∴θ∈.答案：11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2) (a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.[能力提升综合练]1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为()A.B．3C．4D．5解析：选A由已知|a|＝3，|b|＝5，cosθ＝cos45°＝，而向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝3×＝.2．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝()A．20B.C．2D.解析：选C由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2，故选C.3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于()A．2B.C.D.解析：选D因为＝－＝－，所以·＝(－)·＝·－·.又AD⊥AB，所以·＝0，所以·＝·.又＝－，所以·＝·＝(－)·＝2－·＝.4．已知平面向量a，b满足|a＋b|＝1，|a－b|＝x，a·b＝－x，则x＝()A.B．2C.D．3解析：选B|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2，两式相减得4a·b＝1－x2.又a·b＝－x，所以1－x2＝－x，解得x＝2或x＝－(舍去)．故选B.5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.答案：6．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：由题意，知e＝4...
