4.1平面向量的坐标表示、4.2平面向量线性运算的坐标表示、4.3向量平行的坐标表示训练案知能提升新人教A版必修4[A.基础达标]给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点的坐标与以原点为起点，该点为终点的向量的坐标一一对应．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是()A.B.C．(－8，1)D．(8，1)解析：选A.AB＝OB－OA＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，所以AB＝(－8，1)＝.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：选D.a＋b＝(1，1)＋(2，x)＝(3，x＋1)，4b－2a＝4(2，x)－2(1，1)＝(6，4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0.即12x－6－6x－6＝0，解得x＝2.已知AB＝(4，1)，BC＝(－1，k)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为()A．4B．－4C．－D．解析：选C.因为A，B，C三点共线，所以AB∥BC，所以4k＋1＝0，即k＝－.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)解析：选D.由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝3(－2，4)－2(1，－3)＝(－8，18)，4a＋(3b－2a)＝－c，所以(4，－12)＋(－8，18)＝－c，所以c＝(4，－6)．若向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同．解析：因为a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x·x－1·4＝0，即x2＝4，所以x＝±2.当x＝－2时，a与b方向相反．仅当x＝2时，a与b共线且方向相同．答案：2已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x、y，使得a＝(x，y)；②若x1，y1，x2，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a≠0，且a＝(x，y)，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点的坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．在以上四个结论中，正确的结论是________(填入正确结论的序号)．解析：只有①正确；x1＝x2，y1≠y2或x1≠x2，y1＝y2时也有(x1，y1)≠(x2，y2)，所以②不正确；a的起点可以是任意点，③不正确；终点坐标不一定是向量坐标，④不正确．答案：①在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC＝________．解析：因为Q是AC的中点，所以PQ＝PA＋PC.所以PC＝2PQ－PA＝2(1，5)－(4，3)＝(－2，7)．又因为BP＝2PC，所以BC＝3PC＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)如图，已知点A(4，0)、B(4，4)、C(2，6)，求AC，OB的交点P的坐标．1解：法一：设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝(4λ－4，4λ)，AC＝(－2，6)．因为A、P、C三点共线，所以6×(4λ－4)＋2×4λ＝0，解得λ＝.所以OP＝(3，3)，即P点坐标为(3，3)．法二：设P(x，y)，OP＝(x，y)，OB＝(4，4)，因为O、P、B三点共线，所以4x－4y＝0.①又因为AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且A、P、C三点共线，所以6×(x－4)－(－2)y＝0，即3x＋y＝12.②由①②，得x＝3，y＝3，所以P点坐标为(3，3)．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.证明：设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意知，AC＝(2，2)，BC＝(－2，3)，AB＝(4，－1)，AE＝(x1＋1，y1)，BF＝(x2－3，y2＋1)．又AE＝AC＝，BF＝BC＝，所以(x1＋1，y1)＝，(x2－3，y2＋1)＝.所以(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.所以EF＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝.因为4×－(－1)×＝0，所以EF∥AB.[B.能力提升]1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则向量a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析：选D.由题意，得a＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)；设a＝xm＋yn，即(2，4)＝x(－1...
