课下能力提升(十七)[学业水平达标练]题组1对基底向量概念的理解1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2,4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e2解析：选C因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，从而e1－2e2与4e2－2e1共线．2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析：选A ＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b.3.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0解析：选B取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0.题组2向量的夹角问题4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．150°解析：选A平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.6．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.在Rt△OCD中， ||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴||＝4，||＝2，故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.题组3平面向量基本定理的应用7．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为()A．0,0B．1,1C．3,0D．3,4解析：选D 向量e1与e2不共线，∴解得8．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m的值为()A.B.C.D.解析：选C设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋＝m＋，∴解得9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)， a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. e1与e2不共线，∴∴∴e1＋e2＝a－b.答案：a－b10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴∴⇒c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.[能力提升综合练]1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内所有向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：选B与不共线，∥，与不共线，∥，所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝()A．2B．4C．5D．7解析：选B以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以解得所以＝4.故选B.3．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为()A．－B．－C.D.解析：选A因为＝λ＝－λ＝－(＋)，所以＝－.又E，F，K三点共线，所以－＝1，解得λ＝－.故选A.4．如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x＋y，则x2＋9y2的最小值为________．解析：根据题意，得＝＝x＋y.因为M，B，C三点...
