第23课时平面向量数量积的物理背景及其含义(1)对应学生用书P67知识点一平面向量数量积的定义1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于()A．B．C．1＋D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×＝．2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．答案－6解析由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6．知识点二平面向量数量积的几何意义3．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于()A．－3B．－2C．2D．－1答案D解析a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1，故选D．4．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________，e在a方向上的投影为________．答案－解析设a与e的夹角为θ，则|a|·cosθ＝－2，即4cosθ＝－2，∴cosθ＝－，∴θ＝，|e|·cosθ＝－．知识点三平面向量数量积的性质及运算律5．给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．6．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的模不可能是()A．0B．C．2D．3答案D解析由向量内积性质|a·b|≤|a||b|．7．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．答案解析解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，则Eb，c，Fb，c，BA＝(b＋a，c)，CA＝(b－a，c)，BF＝＋a，，CF＝－a，，BE＝b＋a，c，CE＝b－a，c．由BA·CA＝b2－a2＋c2＝4，BF·CF＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝，则BE·CE＝(b2＋c2)－a2＝．解法二：设BD＝a，DF＝b，则BA·CA＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF·CF＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则BE·CE＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝．解法三：利用极化恒等式a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，将不易计算的数量积转化为容易计算的线段长度．本题中有BA·CA＝AB·AC＝AD2－BD2＝4，而BF·CF＝FB·FC＝FD2－BD2＝AD2－BD2＝－1．于是不难计算得AD2＝，BD2＝，进而BE·CE＝EB·EC＝ED2－BD2＝AD2－BD2＝×－＝．知识点四平面向量数量积的应用8．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12答案C解析 a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72．∴|a|＝6．故选C．9．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2B．C．D．答案D解析设|BD|＝x，则|BC|＝x，AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD＝|BC||AD|cos∠ADB＝x·1·＝．10．设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4．若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6答案C解析如图所示，由题设知：AM＝AB＋BM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，所以AM·NM＝AB＋AD·AB－AD＝|AB|2－|AD|2＋AB·AD－AB·AD＝×36－×16＝9．对应学生用书P67一、选择题1．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴上的投影为()A．－5B．5C．－5D．5答案A解析a在x轴上的投影为|a|·cos150°＝－5．2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则AB·BC的值为()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析AB·BC＝AB·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＝－|AB|2＝－1．3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A．B．－C．±D．1答案A解析 (3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝．故选A．4．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．其中为正确命题的是()A．①②B．①③C．②③D．③答案D...
