2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后集训基础达标1.已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角为（）A.B.C.D.解析：a·b=+1+3-=4.|a|=2,|b|=.∴cos〈a,b〉=.∴a、b夹角为,应选A.答案：A2.已知a=(2,-3),b=(-5,8),则（a+b）·b等于（）A.-34B.34C.55D.-55解析：（a+b）·b=a·b+|b|2=2×(-5)+（-3）×8+=55.∴应选C.答案：C3.已知A（2a,0）,B(0,1-a2),则||是（）A.(1+a2)2B.1+a2C.1+a2D.a2解析：=(-2a,1-a2),∴||==1+a2.∴应选B.答案：B4.下列命题中正确命题的序号是（）①++=0②（a+b）·c=a·c+b·c③若a=(m,4),|a|=,则m=④若的起点为A（2，1），终点为B（-2，4），则与x轴正向所夹角的余弦值是A.①②B.②③C.②④D.③④解析：①++=+=2.∴①不正确，②显然正确，数量积对加法满足分配律.③若a=(m,4)|a|=,则m2+16=23.∴m=±,③不正确.④=（-4，3），=（4，-3）.取x轴正向一单位向量i=(1,0),则与x轴正向余弦值cosθ=.∴④正确.∴应选C.答案：C5.以A（2，5），B（5，2），C（10，7）为顶点的三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：=（-3，3），=（5，5），·=-3×5+3×5=0,∴∠B=90°,但||≠||.∴△ABC为直角三角形.∴应选B.答案：B6.若a=(4,2),则与a垂直的单位向量的坐标为________________.解析：设所求向量为b=(x,y),则b⊥a,且|b|=1,所以解得或所以b=(,-)或（-，）答案：(,-)或（-，）综合运用7.已知a=(sinθ,),b=(1,),其中θ∈(π,),则一定有（）A.a∥bB.a⊥bC.a与b的夹角为45°D.|a|=|b|解析：因为，a·b=sinθ+=sinθ+=sinθ+|sinθ|, θ∈(π,).∴sinθ＜0,|sinθ|＝-sinθ.∴a·b=0,∴a⊥b.答案：B8.若向量e1=(x,2x),e2=(-3x,2),且e1与e2的夹角为钝角，则x的取值范围为_____________.解析： e1、e2的夹角为钝角，∴e1·e2＜0,即-3x2+4x＜0,解得：x＜0或x＞, 当θ=π时，e1=λe2(λ＜0)即（x,2x）=λ(-3x,2)=(-3λx,2λ),∴解得x=λ=-13.∴当e1、e2夹角为钝角时，x的取值范围是（-∞,）∪(,0)∪(,+∞).答案：（-∞,）∪(,0)∪(,+∞)9.若在△ABC中，=（-2，3），=（1，m），且△ABC的一个内角为直角，求m的值.解：若A=90°,则·=0.即-2+3m=0,∴m=.当B=90°时，=+=（2，-3）+（1，m）=（3，m-3）.·=0.∴m=5.当C=90°时，·=（-1，-m）·（-3，3-m）=m2-3m+3=0. Δ=9-12＜0,∴∠C不可能为直角.拓展探究10.(2004湖北，19)如右图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.思路分析：解答本题的关键是要结合图形，利用向量的三角形法则找出向量之间的关系；或建立适当的坐标系，利用向量的坐标形式来解答.解法1： ⊥,∴·=0, =-,=-,=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2-·+·=-a2+·(-)=-a2+12·=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c,0）,C(0,b),且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x,y），则Q（-x,-y）.∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by. cosθ=,∴cx-by=a2cosθ,∴·=-a2+a2cosθ,故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.答案：θ=0时，·最大为0.备选习题11.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,那么a·b=____________.解法1：令a=(x1,y1),b=(x2,y2),根据题意可得方程组（1）由（1）（2）解得x1=-3,x2=5,y1=4,y2=-12.∴a=(-3,4),b=(5,-12),a·b=-3×5+4×(-12)=-63.解法2：由①+②得：a=-3i+4j,由①-②得：b=5i-12j,∴a=(-3,4),b=(5,-12).∴a·b=-3×5+4×(-12)=-63.答案：-6312.已知a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),求（a·b）c和a（b·c）.解：a·b=2×(-1)+3×(-2)=-8,(a·b)c=-8(2,1)=(-16,-8),b·c=-1×2+(-2)×1=-4,a(b·c)=(2,3)(-4)=(-8,-12).13.平面向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y).已知a∥b,a⊥c,求b,c及b和c的夹角.解： a∥b,a=(3,-4),b=(2,x),∴3x+8=0,x=.又 a⊥c,∴3×2=4y,y=,∴b=(2,),c=(2,). b·c=2×2+()×=0,...
