2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角主动成长夯基达标1.已知a=(1,-1),b=(2,3),则a·b等于()A.5B.4C.-2D.-1解析：a·b=(1,-1)·(2,3)=2-3=-1.答案：D2.平面上有三个点A(2,2),M(1,3),N(7,k),若∠MAN=90°,则k的值为()A.6B.7C.8D.9解析：因为=(-1,1),=(5,k-2),·=0,所以-5+(k-2)=0,即k=7.选B.答案：B3.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.解析：a在b上的投影为|a|cos〈a,b〉=|a|·=.选A.答案：A4.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(5,2),B(3,4),C(-1,-4),则此三角形为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形解析：=(-2,2),=(-4,-8),=(-6,-6),∴·=(-2,2)·(-6,-6)=12-12=0.∴∠CAB=90°.||≠||,故△ABC为直角三角形.答案：A5.若a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),则(a·b)·c=___________,a·(b·c)=___________.解析：a·b=(2,3)·(-1,-2)=-2+(-6)=-8.∴(a·b)·c=-8(2,1)=(-16,-8),b·c=(-1,-2)·(2,1)=-2-2=-4,a·(b·c)=-4(2,3)=(-8,-12).答案：(-16,-8)(-8,-12)6.已知A、B、C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(0,-1),B(1,2),C(4,1),则△ABC的形状是___________.解析：=(1,3),=(4,2),=(3,-1),||=||=,·=(1,3)(3,-1)=3-3=0,所以△ABC为等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形7.已知向量a=(-1,2),b=(3,k),若a⊥b,则k=___________.解析：a·b=(-1,2)·(3,k)=-3+2k=0,即k=.答案：8.已知△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),试判定△ABC的形状,并证明你的结论.解析：由题意有=(4,-1),=(3,-5),=(-1,-4),∴·=(4,-1)(-1,-4)=0且||=||=.故△ABC为等腰直角三角形.9.已知点A(1,-2),B(-3,1),C(5,2),求cos∠BAC的值.解析：将∠BAC看作是向量、的夹角,由数量积的定义可求解.解:∵A(1,-2),B(-3,1),∴=(-4,3),=(4,4).∴·=(-4,3)·(4,4)=-16+12=-4,||·||=.∴cos∠BAC=cos〈,〉=.10.已知a=(,-1),b=(,),且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求的最小值.解：由题意可得|a|==2,|b|=a·b=·-1×=0,故有a⊥b.由x⊥y,知［a+(t2-3)b］·［-ka+tb］=0,即-ka2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)a·b=0.整理可得k=.故=(t2+4t-3)=(t+2)2-,即当t=-2时,有最小值为-.走近高考11.(2004全国高考)已知平面l上L的方向向量e=(-,),点O(0,0)和A(1,-2)在L上的射影分别是O1和A1,则=λe1,其中λ等于()A.B.-C.2D.-2解法一：由向量在已知向量上的射影定义可得λ=||·cos〈e,〉=.·选D.解法二:利用数形结合的思想,作图可令e过原点,故与e方向相反,排除A、C,检验B、D,知D正确.选D.答案：D
