2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[课时作业][A组基础巩固]1．以下选项中，不一定是单位向量的有()①a＝(cosθ，－sinθ)；②b＝(，)；③c＝(2x,2－x)；④d＝(1－x，x)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝≥≠1，|d|＝＝＝≥.故选B.答案：B2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，设下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．(a－b)⊥bD．a∥b解析：因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，故|a|≠|b|，A错误；a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确．因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误．答案：C3．(2014年高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－B．0C．3D.解析：因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.答案：C4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)．a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3，|a－b|＝3，设所求两向量夹角为α，则cosα＝＝，所以α＝.答案：C5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析：AC＝(－1，－3)，AB＝(3，－1)． AC·AB＝－3＋3＝0，∴AC⊥AB.又 |AC|＝，|AB|＝，∴AC＝AB.∴△ABC为等腰直角三角形．答案：C6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10解析：由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝＝.答案：B7．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cosθ＝________.解析：设b＝(x，y)，则由a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)可得(3x＋2,3y＋1)＝(5,4)，即⇒所以b＝(1,1)，故a·b＝2×1＋1×1＝3且|a|＝＝，|b|＝＝，所以cosθ＝＝＝.答案：8．已知OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标为________．解析：设P(x,0)，所以AP·BP＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，AP·BP有最小值，此时P(3,0)．答案：(3,0)9．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．解析：设c＝(x，y)，则a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.①由b·c＝－9，得b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9.②联立①②得解得∴c的坐标为(3，－2)．10．在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：(1)AB，AC的坐标；(2)|AB－AC|的值；(3)cos∠BAC的值．解析：(1)AB＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．(2)因为AB－AC＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB－AC|＝＝2.(3)因为AB·AC＝(－1,1)·(1,5)＝4，|AB|＝，|AC|＝，cos∠BAC＝＝＝.[B组能力提升]1．(2014年高考山东卷)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－解析：a·b＝|a||b|cos，则3＋m＝2··.(＋m)2＝9＋m2，解得m＝.答案：B2．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10解析：依题意得，AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|＝××＝5.答案：C3．已知a＝(2,1)，b＝(m,6)，向量a与向量b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．解析：因为向量a与向量b的夹角θ是锐角，所以cosθ＝>0，所以a·b＝2m＋6>0，得m>－3，又当a与b同向时，＝，所以m＝12.所以m>－3且m≠12.答案：m>－3且m≠124．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝(k,1)，AC＝(2,3)，则k的值为________．解析：BC＝AC－AB＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∠C＝90°，即AC⊥BC，∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.答案：55．已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．解...
