第二章2.42.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A级基础巩固一、选择题1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则AB·AC等于(B)A．－1B．0C．1D．2[解析] AB＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，AC＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0．2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为(C)A．B．C．D．[解析] a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cosθ＝＝.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝×＝．3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝(C)A．B．－C．D．－[解析]由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，而ka＋b＝(2－k,3k－1)，a－2b＝(－5,5)，故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝．4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝(C)A．1B．C．2D．4[解析]由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0．故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3．所以，|a|＝＝＝2．5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(C)A．B．C．5D．25[解析] a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5．6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(D)A．(，)B．(－，－)C．(，)D．(－，－)[解析]不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．二、填空题7．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__2__．[解析]因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2．8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__．[解析]cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．三、解答题9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值．[解析]ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0．即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．10．已知a＝(，1)，b＝(2,2)．(1)求a·b；(2)求a与b的夹角θ．[解析](1)a·b＝2＋2＝4．(2)cosθ＝＝＝，又 0°≤θ≤180°，∴θ＝30°．B级素养提升一、选择题1．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于(B)A．B．C．D．(1,0)[解析]方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝⇒y＝．方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B．2．(2016·全国Ⅲ，文)已知向量BA＝(，)，BC＝(，)，则∠ABC＝(A)A．30°B．45°C．60°D．120°[解析]由题意得cos∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，故选A．3．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(B)A．B．C．2D．10[解析]由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝＝．4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为(A)A．－θB．θ－C．＋θD．θ[解析]由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上( <θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为－θ．二、填空题5．已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__2__．[解析] |a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1， b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2．6．△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为__3__．[解析] AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1， BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2．∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3．三、解答题7．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c．(1)求b和c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．[解析](1) a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12． a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3．∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m...
