2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后集训基础达标1.下列各式：①（λa）·b=λ（a·b）=a·(λb);②|a·b|=|a|·|b|；③（a+b）·c=a·c+b·c;④(a·b)·c=a·（b·c）.正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1解析：考查平面向量数量积的运算律，注意结合律不成立.④错，②错.答案：C2.若a·c=b·c（c≠0）,则（）A．a=bB．a≠bC．|a|=|b|D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等解析：由a·c=b·c得（a-b）·c=0,∵c≠0,∴a-b=0或(a-b)⊥c,故A、B、C均错，选D.答案：D3.设向量|a|=8，e是单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为（）A．4B．C．D．8+解析：a在e方向上的投影为：|a|cosθ=8×=4,故选A.答案：A4.(2004全国Ⅰ，3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于（）A．B．C．D．4解析：|a+3b|=,故应选C.答案：C5.已知a·b=0，|a|=2，|b|=3，且（3a+2b）·（ka-b）=0,则实数k的值为（）A．B．-C．±D．1解析：由（3a+2b）·(ka-b)=3k|a|2-3a·b+2ka·b-2|b|2=0得12k-18=0,所以k=.答案：A6.在△ABC中已知||=||=4,且·=8，则这个三角形的形状是_______________.解析：·=||||cosα=4×4cosα=8,∴cosα=，∴α=60°∵||=||,∴这个三角形是正三角形.答案：等边三角形综合运用7.已知|a|=a，|b|=b，a与b的夹角为θ,则|a-b|等于（）A.B.C.D.解析：|a-b|2=a2-2a·b+b2=a2+b2-2abcosθ,所以|a-b|=.答案：C8.(2005北京理，3)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则a与b夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°解析：由c⊥a，得c·a=0.∵c·a=（a+b）·a=a2+a·b=1+1×2·cosθ=0，∴cosθ=-.∴a与b夹角为120°.答案：C9.若向量a，b，c满足a+b+c=0,且|a|=3，|b|=1，|c|=4,则a·b+b·c+c·a=_____________.解析：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)∴a·b+b·c+c·a=答案：-13拓展探究10.求证△ABC的三条高线交于一点.思路分析1：假设两条高线交于一点，证明另一条高线也经过此点.证法1：如右图，已知AD、BE、CF是△ABC的三条高.设BE、CF交于H，且令=b，=c，=h，可得=h-b，=h-c,=c-b.∵⊥,⊥,∴(h-b)·c=0,(h-c)·b=0.∴(h-b)·c=(h-c)·b.运算并化简得,h·(c-b)=0.∴⊥.∴AH与AD重合.∴AD、BE、CF相交于一点H.思路分析2：在△ABC中任取一点P，设PA⊥BC，PB⊥AC,证明PC⊥AB即可.证法2：如右图，设P为△ABC内一点，令=a，=b，=c.则=b-a，=c-b,=a-c.当PA⊥BC，PB⊥时，有a·（c-b）=0,b·（a-c）=0.也就是a·c-a·b=0.①b·a-b·c=0.②①+②得a·c-b·c=0,∴(a-b)·c=0.∴⊥.备选习题11.(2005天津文，12)已知|a|=2，|b|=4，a与b的夹角为,以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为____________.解析：较短对角线长度为|a-b|，∵|a-b|2=a2-2a·b+b2=4-2×2×4·cos+16=12,∴|a-b|=.答案：12.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.解：由|m|=1,|n|=1,夹角为60°,得m·n=.则有|a|=|2m+n|=.|b|=.所以a·b=（2m+n）·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=-,得cosθ=.所以a、b夹角为120°.13.设O、A、B、C为平面上的四个点，OA=a,=b,=c，且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1，求|a|+|b|+|c|的值.解：∵a·（a+b+c）=a·0=0，即a2+a·b+a·c=0，a2-1-1=0，∴|a|=.同理，|b|=，|c|=.∴|a|+|b|+|c|=3.14.如右图所示，设i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4i+2j,=3i+4j,证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积.证明：==（4i+2j）-(3i+4j)=i-2j.∵·=（4i+2j）·(i-2j)=4i2+2i·j-8i·j-4j2=4|i|2-6|i||j|cos90°-4|j|2=0,∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形.S△=||·||=·|4i+2j|·|i-2j|====.15.求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如下图所示，在ABCD中，=，=，，∴||2=||2=（）2=.而，∴||2=||2=.∴||2+||2==.∴命题得证.2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课前导引问题导入已知两个恒力F1=i+2j，F2=4i-5j作用于同一质点，由A（20，15）移动到点B（7,0），其中i、j是x轴，y轴上的单位向量，试求F1、F2分别对质点所做的功.思路分析：∵A(20,15),B(7,0),∴=(7-20,0-15)=(-13,-15)=-13i-15j.又由于i⊥j,所以i·j=0;力F1对物体所做的功W1=F1·=（i+2j)·(-13i-15j）=-13i2-41i·j-30j2=-13-30=-43(焦耳)；F2对物体做的功是W2=F2·=（4i-5j）·(-13i-15j)=-52i2+5i·j+75j2=-52+75=23(焦耳)实际上，若F1=i+2j=（1，2），=（-13，-15），F1·=1×(-13)+2×(-15)=-43(焦耳)，即两向量对应坐标的积，这是这节课将要学习的两向量数量积的坐标运算.知识预览1.a=（x1,y1）,b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.2.若有向线段AB，A（x1,y1）,B(x2,y2),则||=;若=（x,y），则||=.3.a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0.4.两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则求两向量的夹角θ的公式为：cosθ=.
