2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义[课时作业][A组基础巩固]1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．2B．－2C．4D．－4解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ＝－12，即6×3cosθ＝－12，所以cosθ＝－，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝6×＝－4.答案：D2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，从而c·b＝c·a＝0.所以c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案：D3．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cosθ＝0，则1＋2cosθ＝0，所以cosθ＝－，所以θ＝120°.答案：C4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.B.C.D．4解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.答案：C5．若向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析：由题意知a·b＝|a||b|cos＝|a||b|＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6.答案：C6．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.答案：－77．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝________.解析：由DC＝2BD，所以BD＝BC，BC＝AC－AB，故AD·BC＝(AB＋BD)·BC＝·(AC－AB)＝·(AC－AB)＝AB·AC＋AC2－AB2＝|AB||AC|cos120°＋|AC|2－|AB|2＝×2×1×＋×1－×22＝－.答案：－8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.答案：－639．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.解析：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×＝9.10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解析：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝.因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，所以|a＋3b|＝.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝，所以cosθ＝＝＝，因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝＝＝，所以3a－b与a＋3b的夹角的正弦值为.[B组能力提升]1．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A．1B.C.D．解析： |a|＝|b|＝1，c与a＋b共线．∴a与c的夹角为60°或120°.当θ＝60°时|a＋c|＝＝＝∴|a＋c|min＝1当θ＝120°时，|a＋c|＝＝∴|a＋c|min＝.答案：D2．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()A．2B．4C．5D．10解析：＝＝＝＝＝－6＝42－6＝10.答案：D3．已知△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：由AB2－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，得AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，即AB·CB＝BC·BC，∴AB·BC＋BC·BC＝0，∴BC·(AB＋BC)＝0，则BC·AC＝0，即BC⊥AC，所以△ABC是直角三角形，故选C.答案：C4．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析：因为e1，e2为单位向量，e1，e2的夹角为，所以e1·e2＝.|b|＝＝＝＝所以＝＝＝≤2，所以的最大值为2.答案：25．已知两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为60°，m＝2xa＋7b，n＝a＋xb，x∈R.(1)若m，n的夹角为钝角，...
