平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·大同高一检测)给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.2.(2014·广东高考)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=()A.(-2，1)B.(2，-1)C.(2，0)D.(4，3)【解析】选B.b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1).3.已知=(5，-3)，C(-1，3)，=2，则点D坐标是()A.(11，9)B.(4，0)C.(9，3)D.(9，-3)【解析】选D.设点D的坐标为(x，y)，则=(x，y)-(-1，3)=(x+1，y-3).又因为=2=2(5，-3)=(10，-6)，所以解得所以点D坐标为(9，-3).【误区警示】求向量坐标时要注意的易错点(1)已知向量的起点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去起点坐标.(2)要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标.4.(2014·唐山高一检测)若a=(2，1)，b=(1，0)，则3a+2b的坐标是()A.(5，3)B.(4，3)C.(8，3)D.(0，-1)【解析】选C.3a+2b=3(2，1)+2(1，0)=(8，3).5.(2014·本溪高一检测)已知A(2，-3)，=(3，-2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为()A.B(5，-5)，M(0，0)B.B(5，-5)，MC.B，M(0，0)D.B，M【解析】选B.因为A(2，-3)，=(3，-2)，所以B(5，-5)，M，即M.【变式训练】(2013·牡丹江高一检测)已知A(2，3)，B(4，-3)，点P在直线AB上，且||=||，则点P的坐标为()A.B.(8，-15)C.或(8，-15)D.或(6，-9)【解题指南】一方面注意分析与的关系，另一方面注意利用方程思想求点P的坐标.【解析】选C.设点P的坐标为(x，y)，=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，=(4，-3)-(x，y)=(4-x，-3-y).因为||=||，所以=或=-，所以(x-2，y-3)=(4-x，-3-y)，或(x-2，y-3)=-(4-x，-3-y)，所以或解得或所以点P的坐标为或(8，-15).6.(2013·沧州高一检测)对于向量m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，定义m⊗n=(x1x2，y1y2).已知a=(2，-4)，且a+b=a⊗b，那么向量b等于()A.B.C.D.【解析】选A.设b=(x，y)，由新定义及a+b=a⊗b，可得(2+x，y-4)=(2x，-4y)，所以2+x=2x，y-4=-4y，解得x=2，y=，所以向量b=.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则=.【解题指南】建立直角坐标系，写出三个向量的坐标，利用解方程组的方法解出λ，μ.【解析】以向量a，b的交点为原点，原点向右的方向为x轴正方向，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)，根据c=λa+μb得(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)，即解得λ=-2，μ=-，所以=4.答案：48.已知a的方向与x轴的正向所成的角为120°，且|a|=6，则a的坐标为.【解析】作向量=a，则||=6，所以点A的坐标为(6cos120°，6sin120°)，即(-3，3)，所以a的坐标为(-3，3).答案：(-3，3)9.(2014·苏州高一检测)已知A(2，3)，B(1，4)，且=(sinx，cosy)，x，y∈，则x+y=.【解题指南】利用A(2，3)，B(1，4)表示出，结合=(sinx，cosy)，利用坐标唯一求得x，y的值.【解析】因为A(2，3)，B(1，4)，所以=(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故=，所以sinx=-，cosy=，又x，y∈，所以x=-，y=±，从而x+y=或x+y=-.答案：或-三、解答题(每小题10分，共20分)10.以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为△OAB是等边三角形，所以||=||=||=4.又以Ox为始边，OA为终边的角为或-(如图)，所以当B在OA上方时，以OB为终边的角为，由任意角三角形函数的定义，得==(2，2)，所以=-=(2，2)-(2，-2)=(0，4)，当B在OA下方时，以OB为终边的角为或-，得=(0，-4)，所以=-=(0，-4)-(2，-2)=(-2，-2)，综上所述，B(2，2)，=(0，4)或B(0，-4)，=(-2，-2).11.已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2).(1)求线段BD的中点M的坐标.(2)若点P(2，y)满足=λ(λ∈R)，求λ与y的值.【解析】(1)设B(x1，y1)，因为=(4，3)，A(-1，-2)，所以(x1+1，y1+2)=(4，3)，所以所以所以B(3，1).同理可得D...
