高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算练习 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.3.3平面向量的坐标运算[A基础达标]1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA＝4i＋2j，OB＝3i＋4j，则2OA＋OB的坐标是()A．(1，－2)B．(7，6)C．(5，0)D．(11，8)解析：选D.因为OA＝(4，2)，OB＝(3，4)，所以2OA＋OB＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为()A．－B.C．－D.解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－，故选C.3．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则AB等于()A．(0，5)B．(0，1)C．(2，5)D．(2，1)解析：选D.AB＝(MB－MA)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为()A.B.C．(3，2)D．(1，3)解析：选A.设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故解得即点D的坐标为，故选A.5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为()A.B.C.D.解析：选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，所以设C(x，－x)，则OC＝(x，－x)．又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，所以⇒λ＝.6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________．解析：设O为坐标原点，因为OA＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6，9)，故OB＝OA＋AB＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝________．解析：设c＝xa＋yb，则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．故解得所以c＝2a－b.答案：2a－b8．已知A(－1，2)，B(2，8)．若AC＝AB，DA＝－AB，则CD的坐标为________．解析：AC＝AB＝(3，6)＝(1，2)，DA＝－AB＝－(3，6)＝(－2，－4)，DC＝DA＋AC＝(－1，－2)，所以CD＝(1，2)．答案：(1，2)9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得10．已知向量AB＝(4，3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求λ与y的值．解：(1)设B(x1，y1)，因为AB＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，所以所以所以B(3，1)．同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1.所以M.(2)由PB＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，BD＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB＝λBD(λ∈R)，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以所以[B能力提升]11．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义mn＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝ab，那么向量b等于()A.B.C.D.解析：选A.设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝ab，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.12．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC＝________．解析：PQ－PA＝AQ＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以AQ＝QC，所以PC＝PQ＋QC＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP＝2PC，所以BC＝BP＋PC＝3PC＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)13．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.解：如图，以O为原点，向量OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．因为|a|＝2，所以a＝(2，0)．设b＝(x1，y1)，所以x1＝|b|·cos150°＝1×＝－，y1＝|b|sin150°＝1×＝，所以b＝.同理可得c＝.设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，所以＝λ1(2，0)＋λ2＝(2λ1－λ2，λ2)，所以解得所以c＝－3a－3b.14．(选做题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．(1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP...