3.3.2第1课时简单的线性规划问题A级基础巩固一、选择题1．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为()A．－6B．－2C．0D．2解析：画出可行域，如图所示，解得A(－2，2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值，所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选A.答案：A2．(2016·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．17解析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(0，2)，B(3，0)，C(1，3)，直线z＝2x＋5y过点B时取最小值6，选B.答案：B3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是()A．80B．85C．90D．95解析：该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与最近的点为(5，4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.答案：C4．(2016·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂直所得的垂足称为点P在直线l的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()A．2B．4C．3D．6解析：如图，△PQR为线性区域，区域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成了线段R′Q′，即AB，而R′Q′＝PQ，由得Q(－1，1)，由得R(2，－2)，|AB|＝|QR|＝＝3.故选C.答案：C5．已知x，y满足目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为()A．－1，4B．－1，－3C．－2，－1D．－1，－2解析：由题意知，直线x＋bx＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3，1)和点(1，－1)，所以解得答案：D二、填空题6．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t＝x＋2y，则y＝－x＋，当x＝0，y＝0时，tmin＝0，z＝3x＋2y的最小值为1.答案：17．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由得A(1，2)，所以|AO|2＝5.答案：58．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.答案：3三、解答题9．已知f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0，1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．解：因为f(x)≤1在[0，1]上恒成立，所以即将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性的规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，此时z＝a＋b取得的最大值为.10．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能地多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解：设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由解得所以A点的坐标为.由解得所以B点的坐标为.所以满足条件的可行域是以A，B，O(0，0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为x＝25，y＝37.所以买桌子25张，椅子37把才行．B级能力提升1．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.D．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由解得所以z＝ax＋by在A(2，1)处取得最小值，故2a＋b＝2，a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.又因为a2＋b2是原点(0，0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线2a＋b－2＝0的距离时最小，所以的最小值是＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y...
