课时作业(三十四)3.2简单的三角恒等变换第一课时1．已知sinα＝(0<α<)，则cos等于()A.B．－C．－D.答案D解析∵sinα＝且0<α<，∴cosα＝.又cosα＝2cos2－1，∴cos2＝＝.∴cos＝.2．cos2(－π)－cos2(＋)可化简为()A.sinxB．－sinxC.sinxD．－sinx答案D解析原式＝[1＋cos(x－π)]－[1＋cos(x＋)]＝[cos(x＋)－cos(x－)]＝[(cosx－sinx)－(cosx＋sinx)]＝－sinx.3．已知2sinθ＝1＋cosθ，则tan的值为()A．2B.C.或不存在D．2或0答案C解析若1＋cosθ≠0，则tan＝＝.若1＋cosθ＝0，即cosθ＝－1，∴θ＝2kx＋π(k∈Z)，∴tan不存在．4．(高考真题·全国Ⅱ卷)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝()A．－B.C．2D．－2答案A解析∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－.∴＝＝＝＝＝＝＝－.故选A.5．已知tanθ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是()A.B.C．－D.答案A解析sin2θ－cos2θ＝－＝－＝＋＝.6．(tan10°－)sin40°的值为()A．－1B．0C．1D．2答案A解析(tan10°－)·sin40°＝(－)·sin40°＝·sin40°＝－＝－＝－1.7．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于()A.B．－C.D．－答案A解析sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，所以sin22θ＝.又π＋2kπ<θ<＋2kπ(k∈Z)，所以2π＋4kπ<2θ<3π＋4kπ(k∈Z)，因此sin2θ>0，从而sin2θ＝.8．若α∈(3π，4π)，则－等于()A．－sin(＋)B.sin(＋)C．－sin(－)D.sin(－)答案B解析原式＝－＝|cos|－|sin|，又α∈(3π，4π)，∴∈(π，2π)，∴原式＝cos＋sin＝sin(＋)．9．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则此三角形为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]，∴2sinBsinC＝1－cos(B＋C)．∴cos(B－C)＝1，又角B、角C为△ABC的内角，∴B－C＝0，∴B＝C.故选B.10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)的值为()A．－1B．1C．2D．3答案B解析tanβ＝＝tan(－α)且0<β<，0<－α<，∴β＝－α，α＋β＝.∴tan(α＋β)＝1.11．已知sin＋cos＝，则sinθ＝________，cos2θ＝________．答案解析∵sin＋cos＝，∴1＋sinθ＝.∴sinθ＝.∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.12．若＝－，则sin2α＝________．答案解析由已知得tanα＝，∴sin2α＝＝＝.13．(sin－sin)(sin＋sin)的值是________．答案解析原式＝[sin(－)－sin][sin(－)＋sin]＝(cos－sin)(cos＋sin)＝cos2－sin2＝cos＝.14．已知tan2θ＝(<θ<π)，求的值．解析∵tan2θ＝＝，∴tanθ＝－3或tanθ＝.又θ∈(，π)，∴tanθ＝－3.∴＝＝＝＝－.►重点班·选做题15．已知α、β都是锐角，且＝cos(α＋β)，求证：tanβ＝.解析∵＝cos(α＋β)，∴sinβ＝cos(α＋β)sinα.∴sin[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)sinα.∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.∴＝2tanα.∴tanβ＝.16．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．分析由于2α＝(α＋β)＋(α－β)，求出角α＋β和α－β的正弦和余弦值后，再借助两角和正弦公式即可解决问题．解析因为<β<α<，所以0<α－β<，<α＋β<.又sin(α＋β)＝－，所以π<α＋β<.从而有cos(α＋β)＝－.因为cos(α－β)＝，sin(α－β)＝.所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝(－)×＋(－)×＝－.1．已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形答案C2．已知sin－cos＝－，α∈(450°，540°)，则tan＝________．答案23．已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．错解由题意知tanα、tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由韦达定理得所以tan(α＋β)＝＝＝1.又因为0<α<π，0<β<π，所以0<α＋β<2π.所以α＋β＝或α＋β＝.错因剖析由①②知，tanα、tanβ两根同号且均小于零，所以<α<π，<β<π，所以π<α＋β<2π.答案α＋β＝
