第31课时简单的三角恒等变换课时目标1.能够利用半角公式进行化简．2．了解和差化积与积化和差公式，以及它与两角和与差公式的内在联系．3．了解y＝asinx＋bcosx的函数的变换，并会求形如y＝asinx＋bcosx的函数的性质．识记强化1．半角公式：sin2＝，sin＝±cos2＝，cos＝±tan2＝，tan＝±根号前符号，由所在象限三角函数符号确定．2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.课时作业一、选择题1．已知cosθ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝()A．－B.C．－D.答案：B解析：因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cosθ＝－，所以cos＝＝＝，故选B.2．已知α∈，cosα＝，则tan＝()A．3B．－3C.D．－答案：D解析：因为α∈，且cosα＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D.3．在△ABC中，若B＝45°，则cosAsinC的取值范围是()A．[－1,1]B.C.D.答案：B解析：在△ABC中，B＝45°，所以cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，因为－1≤sin(A－C)≤1，所以≤cosAsinC≤，故选B.4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan等于()A．7B．－7C.D．－答案：C解析：∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，∴cosα＝－.又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－.∴tan＝＝＝.5．函数f(x)＝的值域为()A.B.C.D.答案：B解析：f(x)＝＝＝2sinx＋2sin2x，又－1≤sinx<1，∴f(x)∈.故选B.6．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形答案：B解析：sinAsinB＝2sinAsinB＝1－cos(π－A－B)cosAcosB＋sinAsinB＝1cos(A－B)＝1A＝B∴是等腰三角形．二、填空题17．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于________．答案：－解析：3sinx－cosx＝2sin，所以φ＝－.8．已知sin＝，则cos2＝________.答案：解析：因为cos＝sin＝sin＝.所以cos2＝＝＝.9．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________.答案：解析：因为3cos2＋5sin2＝4，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝.三、解答题10．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos.解：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，∴cosα＝－，cosβ＝.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝.又∵<α<π，0<β<，∴0<α－β<π，0<<.∴cos＝＝.11．已知sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα.证明：由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα.两边同除以cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.能力提升12．要使sinα＋cosα＝有意义，则应有()A．m≤B．m≥－1C．m≤－1或m≥D．－1≤m≤答案：D解析：sinα＋cosα＝2＝2sin＝，所以sin＝，由于－1≤sin≤1，所以－1≤≤1，所以－1≤m≤.13．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若<α<，且f(α)＝－，求sin2α的值．解：(1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x，所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)＝－，即sin＝－，sin＝－.因为<α<，所以<2α＋<，所以cos＝－，所以sin2α＝sin＝sin－cos＝×－×＝.2
