【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学第三章三角恒等变换习题课简单的三角恒等变换课时作业新人教版必修41.化简(3π<α<4π)等于()A.sinB.2sinC.2cosD.cos解析原式＝＝＝＝＝＝＝2＝2sin.答案B2.若sinα＝，则sin－cosα等于()A.B.C.D.－解析sin－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝sinαcos＝×＝.答案A3.在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝，则A等于()A.B.C.D.解析tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－＝－＝1.又A为△ABC的内角.故A＝.答案A4.已知sin(α－45°)＝－，0°<α<90°，则cosα＝________.解析∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，∴cos(α－45°)＝＝，∴cosα＝cos[(α－45°)＋45°]＝cos(α－45°)cos45°－sin(α－45°)sin45°＝.答案5.设x∈，则函数y＝的最小值为________.解析因为y＝＝，所以令k＝.又x∈，所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点P(－sin2x，cos2x)与定点Q(0，2)所成直线的斜率.又kmin＝tan60°＝，所以函数y＝的最小值为.答案6.求函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小值.解y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝1＋2sinxcosx＋2cos2x＝2＋sin2x＋cos2x＝2＋·＝2＋sin.∴当sin＝－1，即2x＋＝2kπ－(k∈Z)时，函数有最小值.即x＝kπ－(k∈Z)时，函数最小值为2－.7.已知A，B，C三点的坐标分别为(3，0)，(0，3)，(cosα，sinα)，α∈.(1)若|AC|＝|BC|，求角α；(2)若AC·BC＝－1，求的值.解(1)由题意得|AC|＝＝，|BC|＝＝.∵|AC|＝|BC|，∴＝，∴sinα＝cosα，∴tanα＝1.又∵α∈，∴α＝.(2)∵AC·BC＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3·sin＝－1，∴sin＝，∴＝＝sin2α＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.8.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，).(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数y＝f－2f2(x)在区间上的取值范围.解(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－，∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，∴y＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，∵0≤x≤，∴0≤2x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数y＝f－2f2(x)在区间上的取值范围是[－2，1].能力提升9.函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是()A.B.C.πD.2π解析f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－×＝cos4x＋，∴T＝＝.答案B10.定义运算＝ad－bc，若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于()A.B.C.D.解析依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝，故选D.答案D11.已知tan＝3，则sin2θ－2cos2θ的值为________.解析∵tan＝3，∴＝3，解得tanθ＝.∵sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝－－1＝－－1＝－－1＝－.答案－12.函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________.解析f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)＝sin2x＋cos2x－＝sin－，∴T＝＝π.答案π13.如图(甲)所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在PQ上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积.解如题图乙所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在Rt△ONC，CN＝sinα，ON＝cosα，OM＝＝DM＝CN＝sinα，∴MN＝ON－OM＝cosα－sinα，即AB＝cosα－sinα，而BC＝2CN＝2sinα，故S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosα－sinα)·2sinα＝2sinαcosα－2sin2α＝sin2α－(1－cos2α)＝sin2a＋cos2a－＝2－＝2sin－.∵0<α<，∴0<2α<，<2α＋<.故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－.探究创新14.已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2).(1)若a∥b，求tanθ的值.(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值.解(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－，又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝，或2θ＋＝，因此θ＝或θ＝.
